Stretta crescenza, crescenza

[Eclipto1]

Buongiorno a tutti.
Sono alle prese con alcuni test a scelta multipla.
In particolare vorrei chiarimenti sul seguente quesito.

Sia f: A ⊆ R -> R una funzione derivabile su A. Quale delle affermazioni che seguono è vera?
(a), b), c) false)
c) se f'(x) > 0 per qualunque x appartenente ad A, allora f è crescente su A
d) se f'(x1)=0, allora f ammette retta tangente nel punto di ascissa x1.

La correzione dell'esercitatrice è stata che la d) è giusta perché x1 è un punto a tangente orizzontale (quindi ammette tangente).
La c) è invece stata esclusa perché se la derivata è strettamente crescente, la funzione è strettamente crescente, non semplicemente crescente.

La mia domanda è la seguente:
La stretta crescenza non implica la crescenza? La condizione di stretta crescenza non è "più restrittiva" di quella di crescenza semplice? Le funzioni strettamente crescenti non sono un sottoinsieme delle funzioni crescenti?
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?

Grazie anticipatamente.

[Zero87]

Innanzitutto... salve, questo è il tuo secondo messaggio!

Comunque buongiorno a te e

"Eclipto":c) se f'(x) > 0 per qualunque x appartenente ad A, allora f è crescente su A
d) se f'(x1)=0, allora f ammette retta tangente nel punto di ascissa x1.

La d è indubbiamente vera, ma è di quelle risposte che fanno arrabbiare se devo essere sincero. Però in generale è vera, se la derivata prima esiste finita, la funzione ammette una tangente in quei punti dove vale la condizione appena espressa.

Per la c la risposta giusta è la stretta crescenza proprio perché la crescenza semplice dice (e cito a occhio)
"se $f$ è crescente su $A$ vuol dire che per qualsiasi $x_1, x_2 \in A$ con $x_1 ed è il "$\le$" che rende sbagliata la d proprio perché è una condizione debole e nessuno può dirci che non valga l'$=$ per qualche punto.

La stretta crescenza non implica la crescenza? La condizione di stretta crescenza non è "più restrittiva" di quella di crescenza semplice? Le funzioni strettamente crescenti non sono un sottoinsieme delle funzioni crescenti?
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?

Certamente, proprio perché la crescenza semplice è più ampia della crescenza stretta, questa non rende "vera" la d.

[Gi81]

Secondo me la c) è falsa, ma non per il motivo da te scritto.
Il fatto è che se $A$ è definito a tratti, esistono funzioni (definite a tratti) che possono avere derivata sempre positiva senza essere sempre crescenti.

Esempio: $A=[0,1] uu [2,3]$ e $f(x)={(x, \quad \text{ se } x in [0,1]),(x-10, \quad \text{ se } x in [2,3]):}$.
Ecco, abbiamo che $f$ è derivabile su tutto $A$, e anche che $f'(x)=1>0$ per ogni $x in A$. Ma ad esempio $f(2)= -8< 1=f(1)$, dunque la funzione non è crescente

Dunque la fregatura è che non ci viene detto nulla di $A$

[Eclipto1]

Intanto grazie mille Sì è il mio secondo messaggio, ma ho preferito dividerli perché si trattava di argomenti diversi

Scusami, continua a non essermi chiaro perché si esclude l'altra risposta.
Il mio ragionamento è il seguente (non dubito ci sia un errore, ovviamente, ma non mi è chiaro quale sia e quindi mi piacerebbe avercelo chiaro )
f'(x)>0 -> f(x) strettamente crescente
f(x) strettamente crescente -> f(x) crescente

--> f'(x)>0 -> f (x) crescente.

Dov'è l'errore logico?

Grazie ancora per la pazienza

Per Gi8
Sì, era una cosa che avevo considerato. Infatti questo mi sembra un buon motivo per escludere la risposta
Non mi è però comunque chiara la questione della crescenza

[Gi81]

"Eclipto":Non mi è però comunque chiara la questione della crescenza

Per me, sia l'esercitatrice a lezione sia Zero87 qui (spero che non se la prenda ) hanno sbagliato.

Se una funzione è strettamente crescente allora è anche debolmente crescente.
Invece non tutte le funzioni debolmente crescenti sono strettamente crescenti

[Eclipto1]

Grazie per la risposta.
Quindi, se la domanda fosse stata la stessa, ma fosse stato specificato che A è un intervallo di R, avrei potuto concludere che la funzione è crescente in A.
Grazie tante (:

[Zero87]

"Gi8":Per me, sia l'esercitatrice a lezione sia Zero87 qui (spero che non se la prenda ) hanno sbagliato.

Per cosa dovrei prendermela, se ho sbagliato, imparerò qualcosa di nuovo, no?

Se una funzione è strettamente crescente allora è anche debolmente crescente.
Invece non tutte le funzioni debolmente crescenti sono strettamente crescenti

Infatti è vero, però se una funzione è debolmente crescente, nessuno ci dice che non esista qualche $x_1 In quel caso, poiché è crescente, non può decrescere e dunque in quel pezzetto sarà costante (derivata prima =0) e quindi la derivata non sarà strettamente positiva.

Crescente potrebbe essere $f(x)=x$ in $[0,2]$
ma crescente potrebbe essere anche $f(x)=x$ per $x\in [0,1]$ e $f(x)=1$ per $x\in [1,2]$
entrambe crescenti ma solo la prima strettamente e, difatti, la seconda contrasta con l'ipotesi "derivata prima positiva" in $A$.

Ho apputato che $A$ è unico e non è formato da pezzi disgiunti perché sennò varrebbe anche l'esempio precedente di Gi8.

[Eclipto1]

"Zero87":Infatti è vero, però se una funzione è debolmente crescente, nessuno ci dice che non esista qualche $x_1 In quel caso, poiché è crescente, non può decrescere e dunque in quel pezzetto sarà costante (derivata prima =0) e quindi la derivata non sarà strettamente positiva.

Crescente potrebbe essere $f(x)=x$ in $[0,2]$
ma crescente potrebbe essere anche $f(x)=x$ per $x\in [0,1]$ e $f(x)=1$ per $x\in [1,2]$
entrambe crescenti ma solo la prima strettamente e, difatti, la seconda contrasta con l'ipotesi "derivata prima positiva" in $A$.

Però a me sembra che il tuo ragionamento dimostri che non tutte le funzioni crescenti hanno derivata prima strettamente maggiore di zero.

Però, nel mio caso, l'ipotesi (data) è che la derivata sia strettamente maggiore di zero e questo implica che la funzione sia strettamente crescente e quindi crescente.

Come dici tu, non vale il viceversa, cioè se io ho una funzione crescente posso avere tratti costanti e avrò che la derivata prima sarà uguale a 0 e non strettamente maggiore.

Ma il quesito non chiede questo, chiede se una funzione con derivata prima strettamente maggiore di 0 è crescente e a me sembra di poter dire di sì per il ragionamento che ho fatto prima.

Rigirando il quesito:
Esistono funzioni derivabili con derivata prima strettamente maggiore di zero che non siano crescenti (almeno debolmente)?

Ciò non esclude che non esistono funzioni con derivata prima strettamente maggiore di zero che siamo costanti, ma questo non è ciò che chiede il quesito.

[Zero87]

Io avevo fatto questo esempio solo per dirti perché "secondo me" la d era sbagliata. Per il resto, se ho tempo, devo metabolizzare la tua risposta prima di ri-rispondere perché non l'ho capita!

[Plepp]

"Eclipto":
Rigirando il quesito:
Esistono funzioni derivabili con derivata prima strettamente maggiore di zero che non siano crescenti (almeno debolmente)?

L'esempio di Gi8 mi sembra perfetto: esistono sì.

Tuttavia, se la $f$ è definita su un intervallo $I$ e $f'(x)>0$ per ogni $x$ in $I$, allora $f$ è strettamente crescente.[nota]Dimostrarlo è semplice, basta utilizzare la definizione e applicare il Teorema di Lagrange. Bisogna chiedere che $f$ sia continua in $I$ e derivabile in $I^\circ$.[/nota]
Non vale il viceversa, esempio di sempre: $f(x)=x^3$ è strettamente crescente - nonché definita su un intervallo - ma la sua derivata s'annulla nell'origine.

Sempre nell'ipotesi che il dominio di $f$ sia un intervallo $I$, inoltre, vale questo:
\[\forall x\in I,\ f'(x)\ge 0\iff f\ \text{crescente in}\ I\]
e stavolta si tratta di un'equivalenza[nota]Le ipotesi sono le stesse di cui sopra.[/nota].

[stormy1]

tratto dal fiorenza-greco(ma sono sicuro che la stessa cosa venga detta in ogni testo di analisi):
la nozione di funzione crescente(decrescente) in un punto $x_0$ si fonda sul confronto tra il valore che la funzione assume nel punto $ x_0$ ed i valori che essa assume in un opportuno intorno di $x_0$,cioè in punti sufficientemente prossimi ad $x_0$; la crescenza(decrescenza) in un punto $x_0$ è dunque,come suol dirsi,una proprietà della funzione che ha carattere locale

[Gi81]

@stormy: lì si parla chiaramente di crescenza (decrescenza) in un punto. Ci credo che abbia carattere locale.

Quanto alla crescenza/decrescenza di cui stiamo parlando qui,
nel mio libro di Analisi I, l'Acerbi-Buttazzo (Primo Corso di Analisi Matematica), c'è scritto:

se $A sube RR$ e $f:A to RR$, si dice che $f$ è crescente se $AA x,y in A, [x f(x)
E via così per le altre tre (debolmente crescente, decrescente e debolmente decrescente).

Poi viene fatto un esempio:

La funzione $f(x)=1/x$ è decrescente su $RR^+$ in quanto $0 x*1/y<1=>1/y<1/x$.
E' decrescente anche su $RR^-$, perchè $x x*1/y>1=> 1/y<1/x$
Però $f$ non è una funzione decrescente e neppure debolmente decrescente su $RR^+ uu RR^-$ (cioè $RR setminus {0}$),
perchè ad esempio $-1<1$ ma $f(-1)

PS: lo studentello si chiama Eclipto (o, almeno, quello è il suo nickname), e io sono Gi8, non g8.

[stormy1]

non mi riferivo ad eclipto
comunque,hai ragione tu
scusate,devo fare più attenzione a leggere i testi degli esercizi