Stremo superiore
quale è la risposta esatta a: Che vuol dire la frase [tex]SupA \le 7[/tex]??
vuol dire che [tex]\forall x \in A[/tex] [tex]0 \le x \le 7[/tex]??
vuol dire che [tex]\forall x \in A[/tex] [tex]0 \le x \le 7[/tex]??
Risposte
"Stremo superiore" sarebbe una enorme fatica?
Ad ogni modo no, la risposta non è quella.
Per conoscere la risposta occorre andare sul libro e ripetersi la definizione di estremo superiore.
Ad ogni modo no, la risposta non è quella.
Per conoscere la risposta occorre andare sul libro e ripetersi la definizione di estremo superiore.
ho sbagliato a scrivere il titolo, sarebbe Estremo superiore,
la risposta sarebbe [tex]\forall x \in A[/tex] [tex]\exists L \le 7[/tex] t.c. [tex]x \le L[/tex]??
la risposta sarebbe [tex]\forall x \in A[/tex] [tex]\exists L \le 7[/tex] t.c. [tex]x \le L[/tex]??
Ancora no.
Te lo ripeto: rivedi la definizione di estremo superiore.
Te lo ripeto: rivedi la definizione di estremo superiore.
definizione di estremo superiore
Sia [tex]A \subset R[/tex] non vuoto, si trova un numero y t.c. [tex]x \le y \forall x \in A[/tex], A si dice limitato superiormente e y è un maggiorante per A. il minimo dei maggioranti è un numero reale L t.c.
1) L è un maggiorante per A: [tex]\forall x \subset A[/tex] si ha [tex]x \le y[/tex]
2)ogni num minore di L non è un maggiorante per A: [tex]\forall \epsilon > 0 \exist x_\epsilon \subset A[/tex] t.c. [tex]x_\epsilon \ge L- \epsilon[/tex]
questa è la definizione
Sia [tex]A \subset R[/tex] non vuoto, si trova un numero y t.c. [tex]x \le y \forall x \in A[/tex], A si dice limitato superiormente e y è un maggiorante per A. il minimo dei maggioranti è un numero reale L t.c.
1) L è un maggiorante per A: [tex]\forall x \subset A[/tex] si ha [tex]x \le y[/tex]
2)ogni num minore di L non è un maggiorante per A: [tex]\forall \epsilon > 0 \exist x_\epsilon \subset A[/tex] t.c. [tex]x_\epsilon \ge L- \epsilon[/tex]
questa è la definizione
Ok, ma bastava la definizione [tex]$\sup A:= \min \{ \text{maggioranti di $A$}\}$[/tex]. 
Quindi cosa vuol dire la frase [tex]$\sup A \leq 7$[/tex]?
Quindi cosa vuol dire la frase [tex]$\sup A \leq 7$[/tex]?
che 7 è il max dei maggioranti?
No.
Leggi bene quello che c'è scritto...
L'avevi quasi detto bene nel primo post.
Leggi bene quello che c'è scritto...
L'avevi quasi detto bene nel primo post.
7 è il minimo dei maggioranti
Il minimo dei maggioranti di [tex]$A$[/tex] è [tex]$\leq 7$[/tex]; ergo [tex]$7$[/tex] è un maggiorante di [tex]$A$[/tex]; dunque [tex]$\forall x\in A,\ x\leq 7$[/tex].
Insomma, il mio primo no era dovuto alla presenza del tutto ingiustificata di quel [tex]$0\leq $[/tex]...
Insomma, il mio primo no era dovuto alla presenza del tutto ingiustificata di quel [tex]$0\leq $[/tex]...
ma allora lo avevo pensato bene....
ma è anche la stessa definizione di SupA=7?
ma è anche la stessa definizione di SupA=7?
In generale no, perchè [tex]$\sup A =7$[/tex] vuol dire molto di più.
Infatti, dire che [tex]$\sup A \leq 7$[/tex] significa affermare solo che [tex]$\forall x\in A,\ x\leq 7$[/tex] (insomma [tex]$7$[/tex] è un maggiorante di [tex]$A$[/tex], prima proprietà del [tex]$\sup$[/tex]), mentre dire che [tex]$\sup A=7$[/tex] significa che esistono in [tex]$A$[/tex] elementi sempre più vicini a [tex]$7$[/tex] (seconda proprietà del [tex]$\sup$[/tex]).
Ad esempio prendiamo [tex]$A=]-\infty ,1[$[/tex], di modo che [tex]$\sup A=1$[/tex] (infatti i maggioranti di [tex]$A$[/tex] sono tutti e soli i numeri nell'insieme [tex]$[1,+\infty [$[/tex] ed [tex]$1$[/tex] è il minimo di tale insieme): evidentemente [tex]$\sup A\leq 7$[/tex], e difatti risulta [tex]$\forall x\in A,\ x\leq 7$[/tex]. Tuttavia non è vero che esistono [tex]$x\in A$[/tex] sempre più vicini a [tex]$7$[/tex]: ciò accade proprio perchè [tex]$\sup A< 7$[/tex], giacché ad esempio gli [tex]$x_n=1-\tfrac{1}{n}$[/tex] formano una successione di elementi di [tex]$A$[/tex] sempre più vicini a [tex]$\sup A=1$[/tex].
Insomma la differenza sostanziale tra [tex]$\sup A=7$[/tex] e [tex]$\sup A\leq 7$[/tex] sta nel fatto che nel primo caso sei sicuro che ti puoi avvicinare quanto vuoi a [tex]$7$[/tex] rimanendo dentro [tex]$A$[/tex], mentre nel secondo caso questa sicurezza non ce l'hai.
Infatti, dire che [tex]$\sup A \leq 7$[/tex] significa affermare solo che [tex]$\forall x\in A,\ x\leq 7$[/tex] (insomma [tex]$7$[/tex] è un maggiorante di [tex]$A$[/tex], prima proprietà del [tex]$\sup$[/tex]), mentre dire che [tex]$\sup A=7$[/tex] significa che esistono in [tex]$A$[/tex] elementi sempre più vicini a [tex]$7$[/tex] (seconda proprietà del [tex]$\sup$[/tex]).
Ad esempio prendiamo [tex]$A=]-\infty ,1[$[/tex], di modo che [tex]$\sup A=1$[/tex] (infatti i maggioranti di [tex]$A$[/tex] sono tutti e soli i numeri nell'insieme [tex]$[1,+\infty [$[/tex] ed [tex]$1$[/tex] è il minimo di tale insieme): evidentemente [tex]$\sup A\leq 7$[/tex], e difatti risulta [tex]$\forall x\in A,\ x\leq 7$[/tex]. Tuttavia non è vero che esistono [tex]$x\in A$[/tex] sempre più vicini a [tex]$7$[/tex]: ciò accade proprio perchè [tex]$\sup A< 7$[/tex], giacché ad esempio gli [tex]$x_n=1-\tfrac{1}{n}$[/tex] formano una successione di elementi di [tex]$A$[/tex] sempre più vicini a [tex]$\sup A=1$[/tex].
Insomma la differenza sostanziale tra [tex]$\sup A=7$[/tex] e [tex]$\sup A\leq 7$[/tex] sta nel fatto che nel primo caso sei sicuro che ti puoi avvicinare quanto vuoi a [tex]$7$[/tex] rimanendo dentro [tex]$A$[/tex], mentre nel secondo caso questa sicurezza non ce l'hai.
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