Strano esercizio sulle serie

[Mith891]

Ciao a tutti, ho questa serie:
$ sum_(n = 0)^(+oo) sin ((4^n)x)/2^n $

mi si chiede di determinare l'insieme $ E = {x in RR : "la serie e' convergente in " x} $

suppongo di dover trovare la convergenza della serie e di dover poi porre il limite uguale a x, però la serie mi risulta particolarmente ostica... il criterio del rapporto e della radice non portano a bei risultati e non ho grandissima familiarità con quello del confronto... mi sapete dare un appiglio?

[gugo82]

Non mi pare tanto strano come esercizio.

La convergenza assoluta c'è per tutti gli [tex]$x$[/tex], dato che la tua serie è maggiorata in modulo da una serie geometrica convergente (perchè [tex]$|\sin (4^nx)|\leq 1$[/tex]).

[Mith891]

Ma sei sicuro che l'esercizio chieda questo? da come l'avevo letto io pensavo che bisognasse fare in modo che la serie convergesse IN x e non PER OGNI x. In ogni caso se è come dici tu mi potresti dare qualche drittasul criterio del confronto, in teoria ho capito bene a come funziona, però l'applicazione pratica è tutta un'altra cosa. Del tuo ragionamento ho capito che hai preso il modulo della serie per avere una serie a termini positivi e poter applicare il criterio poi però non capisco come si trova (o se basta sapere che ne esiste ) la maggiorante. Ragionandoci su pensavo piuttosto di usare il criterio di Leibniz per serie a segno alterno (la nostra lo è dato che c'è il seno). Il limite
$ lim_(n -> +oo) sin((4^n)x)/2^n = 0 $

e quindi la serie dovrebbe convergere per ogni x.

[gugo82]

"Mith89":Ma sei sicuro che l'esercizio chieda questo? da come l'avevo letto io pensavo che bisognasse fare in modo che la serie convergesse IN x e non PER OGNI x.

Scusa, se io ti mostro che la serie converge per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex], non ti ho anche dimostrato che la serie converge in ogni fissato [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex]?

Insomma, rifletti sul significato del quantificatore universale [tex]$\forall$[/tex].

"Mith89":In ogni caso se è come dici tu mi potresti dare qualche drittasul criterio del confronto, in teoria ho capito bene a come funziona, però l'applicazione pratica è tutta un'altra cosa. Del tuo ragionamento ho capito che hai preso il modulo della serie per avere una serie a termini positivi e poter applicare il criterio poi però non capisco come si trova (o se basta sapere che ne esiste ) la maggiorante.

La maggiorante di solito si trova maggiorando con qualche successione più comoda i pezzi della successione degli addendi che danno fastidio.
Nel caso in esame è il pezzo [tex]$|\sin (4^n x)|$[/tex] a dare fastidio (perchè oscilla tra [tex]$0$[/tex] e [tex]$1$[/tex], per ogni [tex]$x\neq k\pi $[/tex]), quindi dobbiamo provare a levarlo di mezzo; visto che [tex]$|\sin y|\leq 1$[/tex], possiamo fare la maggiorazione:

[tex]$\frac{|\sin (4^n x)|}{2^n}\leq \frac{1}{2^n}$[/tex],

che ha il pregio d'esser costruita in modo che [tex]\sum 2^{-n}[/tex] converge, quindi è particolarmente utile per usare il criterio del confronto.

"Mith89":Ragionandoci su pensavo piuttosto di usare il criterio di Leibniz per serie a segno alterno (la nostra lo è dato che c'è il seno).

Prova a fissare un [tex]$x$[/tex] (ad esempio, [tex]$x=1$[/tex]) ed a diagrammare la successione [tex]$\sin (4^n x)$[/tex]: vedrai che i segni sono distribuiti totalmente a caso. Pertanto la serie non è a segno alterno.

"Mith89":Il limite
$ lim_(n -> +oo) sin((4^n)x)/2^n = 0 $

e quindi la serie dovrebbe convergere per ogni x.

Ma anche no.
Attento a non confondere una condizione necessaria con una sufficiente.

[Mith891]

come al solito sei stato chiarissimo. Grazie mille