Stranezza su o piccolo

[Riccardo Desimini]

Consideriamo l'uguaglianza
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x) \]
Perché questa è sufficiente per dire che \( \cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2} \) per \( x \to 0 \)?

Mi spiego meglio. Non dovrebbe essere
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right ) \]
affinché possa trarre quella conclusione?

[Plepp]

"Riccardo Desimini":Consideriamo l'uguaglianza
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x) \tag{$\color{red}\ast$} \]
Perché questa è sufficiente per dire che \( \cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2} \) per \( x \to 0 \)?

La scrittura \(f\sim g\) sta a significare che $f(x)/g(x)\to 1$ per $x\to "un determinato punto"$. Detto questo, se sai che è vera la \(\color{red}{(\ast)}\), ottieni
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1-x^2/2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-x^2/2+o(x)}{1-x^2/2}=\lim_{x\to 0}1-\dfrac{o(x)}{1-x^2/2}=1\]
Nessuna stranezza

Piuttosto:

"Riccardo Desimini":
Non dovrebbe essere
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right ) \]
affinché possa trarre quella conclusione?

Perché? Quello che hai scritto vuol dire che $\cos x-1+x^2/2$ è un infinitesimo di ordine superiore a $1-x^2/2$, ma $1-x^2/2$ non è manco infinitesimo per $x\to 0$.

[Riccardo Desimini]

"Plepp":\[ \lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1-x^2/2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-x^2/2+o(x)}{1-x^2/2}=\lim_{x\to 0}1-\dfrac{o(x)}{1-x^2/2}=1 \]

Di sicuro intendevi
\[ \lim_{x \to 0}\ \left ( 1 + \frac{o(x)}{1-\frac{x^2}{2}} \right ) \]

Comunque c'è un teorema che dice quanto segue (trascuro le ipotesi tecniche che tutti sappiamo):
«Per \( x \to x_0 \), \( f \sim g \) se e solo se \( f = g + o(g) \)».
Lì c'è scritto \( o(g) \) e non \( o(x) \), per questo mi è nato il dubbio.

Grazie alla tua dimostrazione, so che in questo caso specifico è vera anche per \( o(g) = o(x) \), ma in generale deve essere anche
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o \left ( 1 - \frac{x^2}{2} \right ) \]

Perché? Quello che hai scritto vuol dire che $ \cos x-1+x^2/2 $ è un infinitesimo di ordine superiore a $ 1-x^2/2 $, ma $ 1-x^2/2 $ non è manco infinitesimo per $ x\to 0 $.

Su questo non sono d'accordo. A me sembra che quella scrittura voglia dire che
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{1 - \frac{x^2}{2}} = 0 \]
e cioè che \( \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} = o(1) \) e non che sia infinitesima di ordine superiore a qualcosa che non è neanche infinitesimo.

[Plepp]

"Riccardo Desimini":

Perché? Quello che hai scritto vuol dire che $ \cos x-1+x^2/2 $ è un infinitesimo di ordine superiore a $ 1-x^2/2 $, ma $ 1-x^2/2 $ non è manco infinitesimo per $ x\to 0 $.

Su questo non sono d'accordo.

E fai bene: mia svista mattutina

[gugo82]

"Riccardo Desimini":Consideriamo l'uguaglianza
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x) \]

Questa ugugalianza è sbagliata, perché non possono coesistere nella stessa formula un \(\text{o}(x)\) ed un termine quadratico come \(x^2\).

Infatti, il simbolo "o piccolo" si mangia tutti i termini d'ordine superiore al suo argomento, sicché la formula corretta con \(\text{o}(x)\) è:
\[
\cos x = 1+\text{o}(x)\; .
\]
D'altra parte, l'unico modo di mantenere il termine quadratico nell'approssimazione è scrivere:
\[
\cos x = 1-\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^2)
\]
che è vera (per il teorema di Taylor).

[Plepp]

Gugo, spiegati meglio l'uguaglianza
\[\cos x=1-x^2/2 + o(x)\]
io la "interpreto" come
\[\cos x -1+x^2/2=o(x)\]
che in base alle mie definizioni (leggi: le definizione utilizzate nel testo che uso, e nei corsi di Analisi che ho seguito) significa che
\[\dfrac{\cos x -1+x^2/2}{x}\to 0,\]
fatto che non metterei in discussione.

Cosa vuol dire che "è sbagliata"?

[gugo82]

@ Plepp: Leggi qui, proprietà ii-a.
In altri termini, la \(\text{o}\) ha una sorta di "proprietà di assorbimento" rispetto alla somma che importa:
\[
-\frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x) = \text{o}(x)
\]
(in quanto \(-\frac{1}{2}\ x^2 =\text{o}(x)\)); quindi un termine \(\text{o}(x)\) "si mangia" qualsiasi informazione possa provenire da termini di ordine superiore.
Dato che i simboli di Landau si usano per dare informazioni precise sul comportamento asintotico di una funzione, è un problema tenersi un termine quadratico che può essere assorbito da uno d'ordine inferiore.
Per questo ritengo che non sia corretto usare contemporaneamente il simbolo \(\text{o}(x)\) ed il termine quadratico nella formula proposta.

[Plepp]

Ah ecco, ora mi è più chiaro Beh sì, in questo senso tanto $\cos x=1+o(x)$ tanto $\cos x=1-x^2/2+o(x)$ non cambia un tubero, se la filosofia della formula è quella di

"gugo82":...dare informazioni precise sul comportamento asintotico di una funzione