Strana Equazione Diff

[nunziox]

Come pensate posso risolvere:

${(y'+yx+x^3y^3=0),(y(1)=1):}$

non trovo la sostituzione corretta .

[gugo82]

Quella che hai sotto mano si chiama equazione di Bernoulli.
C'è un trucco standard per risolverla.

[nunziox]

devo fare la sodtituzione $z=y^(1-m)$? giusto? ma non risco a ricondurla ugualmente ad una lineare!

[avmarshall]

il procedimento è sempre lo stesso per le eq di Bernoulli.
quindi se abbiamo l'eq generale del tipo:
$ y'=a(x)y+b(x)y^a $
devi sempre dividere l'eq per la $ y^a $ con $ a != 0,1 $
si ottiene dunque:
$ (y')/y^a=(a(x))/(y^(a-1))+b(x) $
a questo punto si fa la seguente sostituzione:
$ z=1/y^a $ e $ z'=(1-a)(y')/y^a $
infine basta sostituire nell'eq data.

Nel nostro caso abbiamo una $ y^1 $ e una $ y^3 $
per quale dobbiamo dividere vista l'osservazione di prima? per $ y^3 $ . Dunque abbiamo:
$ (y')/y^3+x/y^2+x^3=0 $
ora si fa la sostituzione:
$ z=1/y^2 -> z'=(1-a)(y')/y^a=-2(y')/y^3 -> (y')/y^3=-(z')/2 $
sostituendo nell'equazione abbiamo:
$ (z')/2+xz+x^3=0 -> z'-2xz-2x^3=0 $
che è un equazione lineare omogenea che dovresti saper risolvere

N.B.:quando dividi per $ y^a $ devi stare attento visto che tra le soluzioni escludi $ y^a=0 $ . Dunque l'integrale generale è dato dall'integrale particolare dell'eq lineare e da $ y^a=0 $.