Sto ragionando sulle serie. Perfavore un aiuto?
Sto ragionando sulle serie, una serie si dice convergente se la sua sommatoria da 1 a infinto tende ad un numero.
Il punto è che per lo studio delle serie ho a disposizione molti criteri, ma mi sono chiesto cos'è che fa convergere una serie?
L' unica cosa che mi è venuta in mente è la sua variazione, ovvero se associo la serie ad una funzione ad esempio:
la serie 1/n la associo alla funzione y=1/x otterò che ogni punto di questa funzione è la semi-somma successiva della serie, quindi anche di quanto varia la serie per ogni incremento di n, se invece vado a considerare una funzione in cui calcolo la somma in ogni punto da 1a +oo (ad esempio al punto 1 di x la funzione y=1/x assume valore 1, al punto 2 di x vado a sommare y=1 + 1/2 e così via) ottengo l'andamento proprio della serie.
Quindi senza calcolare derivate ho una funziona che posso associare all' intera serie, e una con cui posso indicare la sua variazione (anche se nella funzione y=1/x la variazione è negativa, mentre nella serie essendo una sommatoria sarà una variazione positiva).
Il mio problema è che sto ragionando ormai da giorni su questa cosa, ovvero esiste un valore limite della funzione a cui associo la variazione della serie per cui la serie è convergente? ci sto pensando da giorni e non ne sono ancora venuto a capo, e se esiste come calcolarlo?
Da studente di ingegneria informatica mi sarebbe anche utile per scrivere un algoritmo semplificativo.
Ormai sono arrivato a fare "esperimenti" sulle serie.. per favore un aiuto?
Il punto è che per lo studio delle serie ho a disposizione molti criteri, ma mi sono chiesto cos'è che fa convergere una serie?
L' unica cosa che mi è venuta in mente è la sua variazione, ovvero se associo la serie ad una funzione ad esempio:
la serie 1/n la associo alla funzione y=1/x otterò che ogni punto di questa funzione è la semi-somma successiva della serie, quindi anche di quanto varia la serie per ogni incremento di n, se invece vado a considerare una funzione in cui calcolo la somma in ogni punto da 1a +oo (ad esempio al punto 1 di x la funzione y=1/x assume valore 1, al punto 2 di x vado a sommare y=1 + 1/2 e così via) ottengo l'andamento proprio della serie.
Quindi senza calcolare derivate ho una funziona che posso associare all' intera serie, e una con cui posso indicare la sua variazione (anche se nella funzione y=1/x la variazione è negativa, mentre nella serie essendo una sommatoria sarà una variazione positiva).
Il mio problema è che sto ragionando ormai da giorni su questa cosa, ovvero esiste un valore limite della funzione a cui associo la variazione della serie per cui la serie è convergente? ci sto pensando da giorni e non ne sono ancora venuto a capo, e se esiste come calcolarlo?
Da studente di ingegneria informatica mi sarebbe anche utile per scrivere un algoritmo semplificativo.
Ormai sono arrivato a fare "esperimenti" sulle serie.. per favore un aiuto?
Risposte
Sono arrivato alla conclusione del criterio integrale, ovvero essendo y=1/x la variazione della funzione associata alla somma in ogni punto della sommatoria 1/n, facendo l'integrale ottengo la funzione che mi rappresenta la sommatoria stessa in questo caso ln n + c (c=0) dove per n --> oo la serie diverge.
Quello che fa convergere una serie, mi vien da dire in un modo molto semplificato, è semplicemente il fatto che la successione che vai a sommare converge "abbastanza velocemente" a zero in modo che anche sommandoli, prima o poi quello che aggiungi non ti cambia il risultato.
Se vuoi fare un parallelo tra serie e funzioni reali, sì, puoi vedere la serie come l'area sottesa da una funzione a gradini, di larghezza unitaria, e con l'altezza che corrisponde ai valori della successione.
Si può trovare un confronto più "rigoroso".
Sai che affinché la serie \(\sum_{n\in\mathbb N}a_n\) converga è necessario che la successione converga a 0, perciò se vuoi associare ad \(a_n\) una funzione reale \(f\colon[1,+\infty)\to\mathbb R\) tale che \(f(n)=a_n\) per ogni \(n\in\mathbb N\), tale \(f\) sarà monotona decrescente (almeno finché valutata sui numeri naturali, ma si può scegliere in modo che lo sia su tutto il dominio).
Si può dimostrare allora che, con queste ipotesi,
\[
\int_1^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\le \sum_{j\in\mathbb N}f(j)\leq f(1)+\int_1^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
Se vuoi fare un parallelo tra serie e funzioni reali, sì, puoi vedere la serie come l'area sottesa da una funzione a gradini, di larghezza unitaria, e con l'altezza che corrisponde ai valori della successione.
Si può trovare un confronto più "rigoroso".
Sai che affinché la serie \(\sum_{n\in\mathbb N}a_n\) converga è necessario che la successione converga a 0, perciò se vuoi associare ad \(a_n\) una funzione reale \(f\colon[1,+\infty)\to\mathbb R\) tale che \(f(n)=a_n\) per ogni \(n\in\mathbb N\), tale \(f\) sarà monotona decrescente (almeno finché valutata sui numeri naturali, ma si può scegliere in modo che lo sia su tutto il dominio).
Si può dimostrare allora che, con queste ipotesi,
\[
\int_1^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\le \sum_{j\in\mathbb N}f(j)\leq f(1)+\int_1^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
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