Sto impazzendo su questo semplice limite...

[GiovanniP1]

L'ho risolto con due metodi diversi, ma qual'è quello giusto?

Metodo I

$ lim_(x -> +oo )sqrt(x)log (1+1/x) = lim_(x -> +oo )sqrt(x)*sqrt(x)log (1+1/x) /sqrt(x)= lim_(x -> +oo )x*log (1+1/x) /sqrt(x)= lim_(x -> +oo )log (1+1/x)^x /sqrt(x)= lim_(x -> +oo )1/sqrt(x) = 0 $

Metodo II

$ lim_(x -> +oo )sqrt(x)log (1+1/x) = lim_(x -> +oo )log (1+1/x)^sqrt(x) = lim_(x -> +oo )log (1+1/x)^(sqrt(x) * sqrt(x) /sqrt(x) ) = lim_(x -> +oo )(log (1+1/x)^(x))^(1/sqrt(x)) = 1 $


Grazie in anticipo!

[gugo82]

"GiovanniP":Metodo II

$ lim_(x -> +oo )sqrt(x)log (1+1/x) = lim_(x -> +oo )log (1+1/x)^sqrt(x) = lim_(x -> +oo )log (1+1/x)^(sqrt(x) * sqrt(x) /sqrt(x) ) = lim_(x -> +oo )(log (1+1/x)^(x))^(1/sqrt(x)) = 1 $

Ti ha fregato una parentesi messa male nel penultimo passaggio: infatti avresti dovuto scrivere:

[tex]$\lim_{x \to +\infty } \log (1+\frac{1}{x})^{\sqrt{x} \ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \log [(1+\frac{1}{x})^x]^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$[/tex].

Il risultato giusto è [tex]$0$[/tex].

Tra l'altro avresti potuto arrivarci anche con i limiti fondamentali (in particolare tenendo presente che [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\log (1+y)}{y} =1$[/tex]); invero:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x}\ \log (1+\frac{1}{x}) =\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} \ \frac{\log (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} =0\cdot 1=0$[/tex].

[GiovanniP1]

Hai Ragione Grazie 1000!