Stime in spazi di Soblev
Ho $v\in H^{1}_0(\Omega)$, $q\in H^{-1/2}(\partial\Omega)$, $\gamma(v)$ traccia di $v$ su $\partial\Omega$ e devo considerare
$b(v,q)=\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v)$
devo mostrare che la forma bilineare $b$ in $v$ e $q$ è continua, cioè credo devo mostrare
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq ||v||_{H^1_0(\Omega)}\ ||q||_{ H^{-1/2}(\partial\Omega)}$
A occhio dovrei usare qualcosa tipo dis. di Holder, cosa faccio?
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq ||\gamma(v)||_{L^2(\partial\Omega)}\ ||q||_{ L^2(\partial\Omega)}$ si può fare? $q\inL^2(\partial\Omega)$?
poi il teorema della traccia che conosco io dice $||\gamma(v)||_{L^2(\partial\Omega)} \leq C||v||_{H^1(\Omega)}$ quindi
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq C||v||_{H^1(\Omega)}\ ||q||_{ L^2(\partial\Omega)}$ e con Poincaré sistemerei la parte in $v$, ma con $q$ non so cosa fare, non ho dimestichezza con gli spazi di Sobolev con esponenti non interi..mi sapete aiutare per favore?
Grazie e buone Feste a tutti!
$b(v,q)=\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v)$
devo mostrare che la forma bilineare $b$ in $v$ e $q$ è continua, cioè credo devo mostrare
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq ||v||_{H^1_0(\Omega)}\ ||q||_{ H^{-1/2}(\partial\Omega)}$
A occhio dovrei usare qualcosa tipo dis. di Holder, cosa faccio?
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq ||\gamma(v)||_{L^2(\partial\Omega)}\ ||q||_{ L^2(\partial\Omega)}$ si può fare? $q\inL^2(\partial\Omega)$?
poi il teorema della traccia che conosco io dice $||\gamma(v)||_{L^2(\partial\Omega)} \leq C||v||_{H^1(\Omega)}$ quindi
$\int_{\partial\Omega}q\ \gamma(v) \leq C||v||_{H^1(\Omega)}\ ||q||_{ L^2(\partial\Omega)}$ e con Poincaré sistemerei la parte in $v$, ma con $q$ non so cosa fare, non ho dimestichezza con gli spazi di Sobolev con esponenti non interi..mi sapete aiutare per favore?
Grazie e buone Feste a tutti!
Risposte
Sai che $q$ è un funzionale lineare continuo sullo spazio di traccia $H^{1/2}(\partial\Omega)$, cioè
$|q[z]| \le ||q||_{H^{-1/2}} ||z||_{H^{1/2}}$.
Di conseguenza
$|b(v,q)| \le ||q||_{H^{-1/2}} ||\gamma(v)||_{H^{1/2}}\le C ||q||_{H^{-1/2}} ||v||_{H^1(\Omega)}$.
Mi sembra che da qui si riesca a concludere.
$|q[z]| \le ||q||_{H^{-1/2}} ||z||_{H^{1/2}}$.
Di conseguenza
$|b(v,q)| \le ||q||_{H^{-1/2}} ||\gamma(v)||_{H^{1/2}}\le C ||q||_{H^{-1/2}} ||v||_{H^1(\Omega)}$.
Mi sembra che da qui si riesca a concludere.
grazie,ho capito la cosa della dualità ma non perché si può fare il passaggio
$||\gamma(v)||_{H^{1/2}}\leq C||v||_{H^1}$, è il teorema della traccia? ma dire $H^{1/2}$ è come dire $L^2$ sul bordo?
$||\gamma(v)||_{H^{1/2}}\leq C||v||_{H^1}$, è il teorema della traccia? ma dire $H^{1/2}$ è come dire $L^2$ sul bordo?
Se $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ è uniformemente Lipschitziano, allora per ogni $p\in (1,+\infty)$ esiste una costante $C = C(p,N,\Omega) > 0$ t.c.
$||\gamma(u)||_{W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)} \le C ||u||_{W^{1,p}(\Omega)}$ per ogni $u\in W^{1,p}(\Omega)$.
L'operatore di traccia è suriettivo da $W^{1,p}(\Omega)$ in $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$ e il suo nucleo è $W^{1,p}_0(\Omega)$.
Dire $H^{1/2}(\partial\Omega)$ non è come dire $L^2(\partial\Omega)$; vale l'inclusione $L^2\subset H^{1/2}$.
$||\gamma(u)||_{W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)} \le C ||u||_{W^{1,p}(\Omega)}$ per ogni $u\in W^{1,p}(\Omega)$.
L'operatore di traccia è suriettivo da $W^{1,p}(\Omega)$ in $W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)$ e il suo nucleo è $W^{1,p}_0(\Omega)$.
Dire $H^{1/2}(\partial\Omega)$ non è come dire $L^2(\partial\Omega)$; vale l'inclusione $L^2\subset H^{1/2}$.
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