Stime asintotiche: o-piccoli

[Sbonfone]

Ciao ragazzi, ho un dubbio su un limite in cui vanno usati gli o-piccoli:

$ lim_(x -> +oo ) (x^5ln((3x+2)/(x+1))+x)/(x^5+x^6sin(1/x) $

Al numeratore raccolgo x^5 e il tutto in parentesi tende a ln3; il problema è al denominatore.
Essendo il seno di 1/x, uso Taylor e sviluppo fino al grado 5: $ 1/x - 1/(6x^3) + 1/(120x^5) + o(1/x^5) $
Dopodichè moltiplico il tutto per $ x^6 $ e raccolgo $ x^5 $ ottenendo:
$ 2x^5(1-(1/(6x^2))+(1/(120x^4))+(o(1/x^5)/x^5)) $
Ed è qui il problema...io semplifico le x^5 e il limite viene $ (ln3)/2 $ (risultato peraltro corretto)...ma non sono sicuro che si ottenga 0 nella semplificazione dell'o-piccolo precedente con x^5 in quanto non si può decidere con esattezza quale fra le due quantitá prevale all'inifito sull'altra...avete delle idee?
Vi ringrazio

[ciampax]

Risoluzione corretta ma "esagerata". Basta osservare che $\sin(1/x)=1/x+o(1/x)$, in quanto, se provi a porre $t=1/x$, avresti $\sin t=t+o(t)$ dal limite notevole per il seno.

[Sbonfone]

Sì ma rimane il problema dell'o-piccolo:
$ ((o(1/x))/x^5) $ fa zero? Io credo che sia una forma indeterminata: farebbe zero se al denominatore ci fosse 1/x o termini più lenti...sbaglio?

[Sbonfone]

Comunque ho digitato male: dopo aver raccolto x^5 viene $ 1/(120x^4) $ , non $ 1/(120x^5) $ (ok ho cambiato)

[ciampax]

Ma che te frega dell'o-piccolo? Nel confronto asintotico, gli o-piccoli sono parti trascurabili: ovvio che fa zero. Prova ad usare correttamente la definizione di o-piccolo e te ne renderai conto.

[Sbonfone]

L'insieme o-piccolo racchiude dentro di sè i termini che tendono più velocemente a zero di una determinata quantità: o-piccolo di 1/x include quindi dentro di sè tutte le x con esponente maggiore di -1: se dividiamo questa quantità per x^5 abbiamo un infinito al denominatore di ordine maggiore rispetto a 1/x, ma non ci dà informazioni sul rapporto con l'o-piccolo...mi spiego meglio, se al denominatore avessimo avuto x^-2, il tutto faceva zero in quanto tutte le x contenute nell'o-piccolo tendono a zero più velocemente del denominatore...stessa cosa se ci fosse stato esattamente 1/x al denominatore...ma la nostra prof di analisi 1 insisteva sul fatto che nel caso il grado del denominatore sia maggiore di quello riportato nella dicitura di o-piccolo, essa rimane una forma indeterminata in quanto non si sa chi dei due prevale nella "corsa all'infinito"...o magari ho capito male io

[Sbonfone]

Ah però mi viene in mente ora che magari l'o-piccolo prevale in tutti i casi dato che contiene dentro di sè anche quei termini di grado superiore rispetto a x^5...aiuto!

[ciampax]

Senti, fai così, perché mi sa che ti frega il fatto che $x\to+\infty$: poni $t=1/x$ e vedi cosa viene fuori. Ti faccio presente che se $x\to +\infty$, $1/x$ è infinitesima, per cui gli "ordini di grandezza" vanno secondo le potenze più basse, non quelle più alte!

[Sbonfone]

Ok alla fine mi si sono schiarite le idee...grazie