Stime asintotiche

[lorenzofranco24]

Salve a tutti vorrei alcuni chiarimenti sulla differenza della stima asintotica fatta in questi esercizi.
Si tratta in entrambi i casi di uno studio del carattere di una serie numerica.
1) $ sum_(n = \1) ln(n)/n^4 $
2) $ sum_(n = \1) ln(n)/n^(3/2) $
Nella soluzione degli esercizi l'equivalenza asintotica, per ln(n), viene fatta in modo diverso.In particolare, nel primo caso abbiamo che $ ln(n)~ n $ per $ x->oo $ mentre nel secondo caso $ ln(n)~ n^(1/3) $ sempre per x tendente a infinito.
Non capisco il perché.

[pilloeffe]

Ciao Drenthe,

Non mi risulta...
Per la prima serie proposta farei nel modo seguente:

1) $\sum_{n = 1}^{+\infty} ln(n)/n^4 <= \sum_{n = 1}^{+\infty} \sqrt{n}/n^4 = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{7/2} $

e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 7/2 > 1 $, per cui la serie proposta è convergente.
Per la seconda serie proposta, anch'essa convergente, non possiamo procedere come per la prima, ma dobbiamo fare qualcosa di un po' più raffinato: dato che $ln(x) < x $, ponendo $x := n^{\beta} $ si ha subito $ \beta ln(n) < n^{\beta} \implies ln(n) < n^{\beta}/\beta \quad \AA \beta > 0 $, per cui per la seconda serie si ha:

2) $\sum_{n = 1}^{+\infty} ln(n)/n^{3/2} < \sum_{n = 1}^{+\infty} n^{\beta}/(\beta n^{3/2}) = 1/\beta \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2 -\ beta} $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 - \beta $ che converge se $ 3/2 - \beta > 1$, per cui basta scegliere qualsiasi $\beta $ tale che $0 < \beta < 1/2 $