Stimare una serie
ciao a tutti! vi chiedo aiuto nel stimare questa successione:
$\sum_{n=1}^(+\infty) 1/(n^2)$
a meno di $10^(-3)$ so di dover trasformarla in integrale ma non so come porre le disugualianze.. grazie!
$\sum_{n=1}^(+\infty) 1/(n^2)$
a meno di $10^(-3)$ so di dover trasformarla in integrale ma non so come porre le disugualianze.. grazie!
Risposte
Quella che scrivi non è una successione, ma un numero reale (cioè la somma della serie armonica generalizzata con esponente [tex]$2$[/tex]).
Quindi il problema, così com'è posto, non ha senso.
Quindi il problema, così com'è posto, non ha senso.
urca scusami.. ho sbagliato di scrivere! è una serie lo so bene.. riesci ad aiutarmi a risolvere questo problema? non riescoa proprio a stimare questa serie...
Ancora non si capisce che cosa devi fare.
Stimare la successione delle somme parziali della serie? Stimare la somma della serie? Stimare la successione dei resti? Stimare qualcos'altro?
Stimare la successione delle somme parziali della serie? Stimare la somma della serie? Stimare la successione dei resti? Stimare qualcos'altro?
Gugo82, e se avesse voluto intendere stimare il limite della successione delle somme parziali? 
Hai ragione, avresti dovuto concedere troppo.
Hai ragione, avresti dovuto concedere troppo.
@speculor: E se avesse voluto intendere altro?
Insomma, è buona norma porre delle domande sensate: è proprio una questione di educazione spicciola, dato che serve a non far predere tempo a chi vuole aiutare (come scritto anche nell'avviso).
Insomma, è buona norma porre delle domande sensate: è proprio una questione di educazione spicciola, dato che serve a non far predere tempo a chi vuole aiutare (come scritto anche nell'avviso).
guarda ti chiedo scusa se ti faccio perdere tempo ma anche il testo dell'esercizio è piuttosto spicciolo. Te lo scrivo:
stimare in un modo che la somma $s_n$ (cioè la somma della serie limitata ad un certo n) approssima $s$ (la somma per gli n che vanno all'inifinito) a meno di $10^(-3)$
ora come posso procedere?
stimare in un modo che la somma $s_n$ (cioè la somma della serie limitata ad un certo n) approssima $s$ (la somma per gli n che vanno all'inifinito) a meno di $10^(-3)$
ora come posso procedere?
Ah ecco!
Il testo, per quanto stringato, è chiarissimo.
Praticamente devi stimare la successione di termine generale:
[tex]$r_N:=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} -\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}$[/tex],
che si chiama successione dei resti della serie [tex]\sum \frac{1}{n^2}[/tex].
Se noti che:
[tex]$r_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$[/tex],
e che per ogni [tex]$n\geq N+1$[/tex]:
[tex]$\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^2} \int_{n-1}^n \text{d} x \leq \int_{n-1}^n\frac{1}{x^2}\ \text{d} x$[/tex],
come si può vedere dal seguente disegno:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
plot("x^(-2)",1,6);
stroke="red"; line([1,0.25],[2,0.25]); line([2,0.11],[3,0.11]); line([3,0.0625],[4,0.0625]);[/asvg]
riesci a concludere velocemente: infatti trovi:
[tex]$r_N\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \int_{n-1}^n \frac{1}{x^2}\ \text{d} x =\int_{N}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\ \text{d} x$[/tex]
e da qui è facile determinare [tex]$N$[/tex] in modo che [tex]$r_N\leq 10^{-3}$[/tex].
P.S.: Da ora in poi cerca di riportare l'esercizio correttamente come richiesto nell'avviso. Grazie.
Il testo, per quanto stringato, è chiarissimo.
Praticamente devi stimare la successione di termine generale:
[tex]$r_N:=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} -\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2}$[/tex],
che si chiama successione dei resti della serie [tex]\sum \frac{1}{n^2}[/tex].
Se noti che:
[tex]$r_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$[/tex],
e che per ogni [tex]$n\geq N+1$[/tex]:
[tex]$\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^2} \int_{n-1}^n \text{d} x \leq \int_{n-1}^n\frac{1}{x^2}\ \text{d} x$[/tex],
come si può vedere dal seguente disegno:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
plot("x^(-2)",1,6);
stroke="red"; line([1,0.25],[2,0.25]); line([2,0.11],[3,0.11]); line([3,0.0625],[4,0.0625]);[/asvg]
riesci a concludere velocemente: infatti trovi:
[tex]$r_N\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \int_{n-1}^n \frac{1}{x^2}\ \text{d} x =\int_{N}^{+\infty} \frac{1}{x^2}\ \text{d} x$[/tex]
e da qui è facile determinare [tex]$N$[/tex] in modo che [tex]$r_N\leq 10^{-3}$[/tex].
P.S.: Da ora in poi cerca di riportare l'esercizio correttamente come richiesto nell'avviso. Grazie.
wow sei stato chiarissimo! grazie infinite! va bene farò più attenzione d'ora in poi!
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