Stima su $|f'(0)|$ con $f$ olomorfa sul disco unitario
Sia $\Omega$ un aperto connesso del piano complesso, contenente il disco aperto unitario, [tex]D:=D_1(\mathbf{0}) \subseteq \Omega[/tex]. Sia $f: \Omega \to \CC$ una funzione olomorfa su tutto $D$, con $|f(z)|\le 1$ per ogni $z \in D$ e $f(0)=0$.
Mostrare che $|f'(0)|\le 1$ e caratterizzare il caso d'uguaglianza.
Soluzione.
Mi date una conferma, please?
Per il caso d'uguaglianza non credo, francamente, di aver concluso molto. La $z \mapsto z$ mi pare soddisfi a tutti i requisiti e la disuguaglianza provata è in realtà un'uguaglianza... Ma non ho ancora concluso, dovrei mostrare che non esistono altre funzioni con tale proprietà (ammesso che ciò sia vero).
Vi ringrazio.
Mostrare che $|f'(0)|\le 1$ e caratterizzare il caso d'uguaglianza.
Soluzione.
Mi date una conferma, please?
Per il caso d'uguaglianza non credo, francamente, di aver concluso molto. La $z \mapsto z$ mi pare soddisfi a tutti i requisiti e la disuguaglianza provata è in realtà un'uguaglianza... Ma non ho ancora concluso, dovrei mostrare che non esistono altre funzioni con tale proprietà (ammesso che ciò sia vero).
Vi ringrazio.
Risposte
Questo risultato va sotto il nome di Lemma di Schwarz; lo trovi, ad esempio, sul Rudin R&CA, p. 254.
"Paolo90":A me sembra una tautologia, a meno che tu non voglia indicare in modo barocco l'applicazione identica del disco aperto complesso unitario!
... La $z \mapsto z$ mi pare soddisfi a tutti i requisiti...
Banalmente l'applicazione identica soddisfa le ipotesi e la tesi del lemma di Schwarz!
Dai Paolo che secondo me ci sei. Sono d'accordo sulla tua congettura:
Congettura Se \(D \subset \Omega\), \(f: \Omega \to \mathbb{C}\) è analitica, \(f(0)=0\), \(\lvert f'(0) \rvert= 1\) e \(\lvert f(z)\rvert \le 1\ \forall z \in D\) allora \(f(z)=e^{i \theta} z\) per un \(\theta\) reale.
Traccia di dimostrazione Supponiamo sia \(f'(0)=1\). Allora
\[f(z)=z+ a_1z^2+a_2z^3+\ldots=z(1+\varepsilon(z)).\]
Per assurdo esista un \(a_k \ne 0\), diciamo \(a_1\ne 0\). Secondo me allora esiste un \(z_0 \in \mathbb{C}\) di modulo unitario tale che \(\varepsilon(z_0)\) ha parte reale strettamente positiva, e dunque \(\lvert z_0(1+\varepsilon(z_0))\rvert >1\), una contraddizione. Vedi un po' se ti convince e se riesci a provarlo.
Congettura Se \(D \subset \Omega\), \(f: \Omega \to \mathbb{C}\) è analitica, \(f(0)=0\), \(\lvert f'(0) \rvert= 1\) e \(\lvert f(z)\rvert \le 1\ \forall z \in D\) allora \(f(z)=e^{i \theta} z\) per un \(\theta\) reale.
Traccia di dimostrazione Supponiamo sia \(f'(0)=1\). Allora
\[f(z)=z+ a_1z^2+a_2z^3+\ldots=z(1+\varepsilon(z)).\]
Per assurdo esista un \(a_k \ne 0\), diciamo \(a_1\ne 0\). Secondo me allora esiste un \(z_0 \in \mathbb{C}\) di modulo unitario tale che \(\varepsilon(z_0)\) ha parte reale strettamente positiva, e dunque \(\lvert z_0(1+\varepsilon(z_0))\rvert >1\), una contraddizione. Vedi un po' se ti convince e se riesci a provarlo.
Vi ringrazio molto per i vostri interventi.
Grazie al suggerimento di Rigel (
), ho trovato una dimostrazione molto rapida e decisamente più generale del teorema. Oltre che sul Rudin, si può guardare qui.
Tornando a noi: la dimostrazione che ho dato io della prima parte (usando la formula di Cauchy) è corretta, vero?
dissonance, ti ringrazio per il tuo supporto
Ci ho pensato un po' su, ma non ho capito: lo sviluppo in serie di potenze vale nell'interno del disco (perchè $f$ è olomorfa nel disco aperto). Come posso essere sicuro che lo sviluppo sia valido anche sulla frontiera? Tu infatti mi dici che esiste uno $z_0$ di modulo 1 tale che $epsilon(z_0)$ abbia parte reale positiva: questo significa, in particolare, che la serie di potenze $epsilon(z) = sum_{n =1}^{infty}a_nz^n$ converge per $z=z_0$.
Che cosa mi sto perdendo? Grazie
Grazie al suggerimento di Rigel (
), ho trovato una dimostrazione molto rapida e decisamente più generale del teorema. Oltre che sul Rudin, si può guardare qui. Tornando a noi: la dimostrazione che ho dato io della prima parte (usando la formula di Cauchy) è corretta, vero?
dissonance, ti ringrazio per il tuo supporto
"dissonance":
Traccia di dimostrazione Supponiamo sia \(f'(0)=1\). Allora
\[f(z)=z+a_1z^2+a_2z^3+\ldots=z(1+\varepsilon(z)).\]
Per assurdo esista un \(a_k \ne 0\), diciamo \(a_1\ne 0\). Secondo me allora esiste un \(z_0 \in \mathbb{C}\) di modulo unitario tale che \(\varepsilon(z_0)\) ha parte reale strettamente positiva, e dunque \(\lvert z_0(1+\varepsilon(z_0))\rvert >1\), una contraddizione. Vedi un po' se ti convince e se riesci a provarlo.
Ci ho pensato un po' su, ma non ho capito: lo sviluppo in serie di potenze vale nell'interno del disco (perchè $f$ è olomorfa nel disco aperto). Come posso essere sicuro che lo sviluppo sia valido anche sulla frontiera? Tu infatti mi dici che esiste uno $z_0$ di modulo 1 tale che $epsilon(z_0)$ abbia parte reale positiva: questo significa, in particolare, che la serie di potenze $epsilon(z) = sum_{n =1}^{infty}a_nz^n$ converge per $z=z_0$.
Che cosa mi sto perdendo? Grazie
E' per quello che la traccia richiede \(D \subset \Omega\). Io ho sbagliato scrivendo \(f \colon D \to \mathbb{C}\), in effetti. Correggo.
Su quanto hai finora dimostrato Paolo: non ho nulla da contestare!
Però non fare così](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
inoltre: devi utilizzare in qualche modo l'ipotesi che \(\Omega\) è un aperto connesso contenente \(D\); che esiste un'estensione olomorfa di \(f\) a \(D\)!? 
Però non fare così
inoltre: devi utilizzare in qualche modo l'ipotesi che \(\Omega\) è un aperto connesso contenente \(D\); che esiste un'estensione olomorfa di \(f\) a \(D\)!?
Per prima cosa, mi scuso.
Devo ammettere che il testo del problema non era proprio così. E' stato citato a lezione questo fatto soltanto en passant e mi sono annotato a matita sul quaderno solo le ipotesi che sono riuscito a scrivere ($f$ olomorfa sul disco, $|f(z)|\le 1$ e $f(0)=0$). Ieri sera, riguardando gli appunti ho provato a formalizzare il discorso per bene e ho pensato di scrivere questo topic per conferma.
Dite che le formulazione che ho dato è fuorviante?
Ad ogni modo, non credo che funzioni ancora così com'è. Bisognerebbe aggiungere l'ipotesi che $f$ sia olomorfa su tutto $Omega$, non solo su $D$ (come invece ho scritto io nel topic iniziale). Tuttavia, anche in questo caso, non credo di aver capito dove mi volete portare: ho fatto un po' di ragionamenti, ma tutti a vuoto.
Continuo a pensarci.
Grazie per l'aiuto e le conferme.
Devo ammettere che il testo del problema non era proprio così. E' stato citato a lezione questo fatto soltanto en passant e mi sono annotato a matita sul quaderno solo le ipotesi che sono riuscito a scrivere ($f$ olomorfa sul disco, $|f(z)|\le 1$ e $f(0)=0$). Ieri sera, riguardando gli appunti ho provato a formalizzare il discorso per bene e ho pensato di scrivere questo topic per conferma.
Dite che le formulazione che ho dato è fuorviante?
Ad ogni modo, non credo che funzioni ancora così com'è. Bisognerebbe aggiungere l'ipotesi che $f$ sia olomorfa su tutto $Omega$, non solo su $D$ (come invece ho scritto io nel topic iniziale). Tuttavia, anche in questo caso, non credo di aver capito dove mi volete portare: ho fatto un po' di ragionamenti, ma tutti a vuoto.
Continuo a pensarci.
Grazie per l'aiuto e le conferme.
Grazie per il link, Paolo! In effetti smanettando alla mia maniera si fa inutile confusione [size=80](*)[/size], meglio definire
\[ g(z)=\begin{cases} f(z)/ z & z \ne 0 \\ f'(0) & z=0\end{cases} \]
e osservare che dalla prima parte della dimostrazione consegue \(\lvert g(z) \rvert \le 1\), perciò se \(\lvert f'(0)\rvert =1\) allora per il principio di massimo modulo \(g(z)\) è costante sul disco aperto \(D\) e segue la tesi. Scrivo due remark che mi hanno colpito:
[list=1][*:2eumdeyx]Quando una funzione è olomorfa, i suoi rapporti incrementali opportunamente prolungati sono anch'essi funzioni olomorfe. Nel nostro caso \(g\) è una funzione olomorfa. Questo trucco si usa anche da altre parti in analisi complessa, per esempio si può usare per dimostrare la formula integrale di Cauchy.[/*:m:2eumdeyx]
[*:2eumdeyx]Il principio di massimo modulo si può usare per caratterizzare il caso di uguaglianza in certe disuguaglianze. Questo esercizio mi pare il prototipo di applicazione di tale tecnica.[/*:m:2eumdeyx][/list:o:2eumdeyx]
__________________
(*) e forse c'è pure qualche errore più grave!
meglio non indagare.
\[ g(z)=\begin{cases} f(z)/ z & z \ne 0 \\ f'(0) & z=0\end{cases} \]
e osservare che dalla prima parte della dimostrazione consegue \(\lvert g(z) \rvert \le 1\), perciò se \(\lvert f'(0)\rvert =1\) allora per il principio di massimo modulo \(g(z)\) è costante sul disco aperto \(D\) e segue la tesi. Scrivo due remark che mi hanno colpito:
[list=1][*:2eumdeyx]Quando una funzione è olomorfa, i suoi rapporti incrementali opportunamente prolungati sono anch'essi funzioni olomorfe. Nel nostro caso \(g\) è una funzione olomorfa. Questo trucco si usa anche da altre parti in analisi complessa, per esempio si può usare per dimostrare la formula integrale di Cauchy.[/*:m:2eumdeyx]
[*:2eumdeyx]Il principio di massimo modulo si può usare per caratterizzare il caso di uguaglianza in certe disuguaglianze. Questo esercizio mi pare il prototipo di applicazione di tale tecnica.[/*:m:2eumdeyx][/list:o:2eumdeyx]
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(*) e forse c'è pure qualche errore più grave!
meglio non indagare.
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