Stima funzione

[Shocker1]

Salve, ho questo problema: sia $f \in C( \[a, b]\ )$ derivabile in $(a, b)$ tale che $\int_{0}^{1} |f'(x)|^2dx <= 1$ e $f(0) = 0$, dimostrare che $|f(x)| <= 1$. Non ho idea di come procedere, potreste darmi qualche indizio?

Grazie.

[Rigel1]

"Shocker":Salve, ho questo problema: sia $f \in C( \[a, b]\ )$ derivabile in $(a, b)$ tale che $\int_{0}^{1} |f'(x)|^2dx <= 1$ e $f(0) = 0$, dimostrare che $|f(x)| <= 1$.

Immagino che sia \(f\in C^1([0,1])\) (comunque va bene anche se \(f\) è derivabile ovunque in \([0,1]\), poiché in tal caso è assolutamente continua).
Parti da
\[
f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\, dt\qquad \forall x\in [0,1].
\]
Usa il fatto che \(f(0) = 0\) e maggiora \(|f(x)|\) usando anche la disuguaglianza di Hoelder.

[Bremen000]

$ AA t \in [0;1] $
$$ 1 \ge \int_0^1 |f'(x)|^2 dx \ge \int_0^t |f'(x)|^2 dx \stackrel{(*)}{\ge} |\int_0^t f'(x) dx |^2 \ge |f(t)-f(0)|^2 = |f(t)|^2 $$

Dove in (*) si usa Jensen.

[Shocker1]

Grazie per le risposte, è tutto chiaro

Ho un altro problema di questo tipo: Sia \( f\in C^1([0,1]) \) derivabile in $(0, 1)$ tale che $\int_{0}^{1}|f(x)|^2dx <= 1$ e $\int_{0}^{1}|f'(x)|^2dx <= 1$ dimostrare che $|f(x)| <= 3$.

Anche qui ho trovato un po' di difficoltà, ho provato ad usare le disuguaglianze di Minkowski e Holder per provare a maggiorare $|f(x)|$ ma non ho concluso nulla. Penso bisogni sempre partire dal fatto che $f(x) = f(0) + \int_{0}^{1}f'(x)dx$ ma poi non saprei come maggiorare

[Rigel1]

Puoi partire da qualcosa del tipo
\[
|f(y)| \leq |f(x)| + \int_0^1 |f'|
\]
e integrare rispetto a \(x\) in \([0,1]\).