Stima errore metodo di Eulero
Ciao, amici! Dato il problema ai valori iniziali \(y'(t)=f(t,y(t)), y(t_0)=y_0\) un'approssimazione della soluzione è la funzione lineare definita a tratti ottenuta con il metodo di Eulero
\[y(t)=y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i),\text{ } t \in [t_i,t_{i+1}]\]
la differenza tra la cui derivata e \(f(t,y(t))\) è
\[y'(t)-f(t,y(t))=f(t_i,y_i)-f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i))\]
che dunque, con una limitazione su $||\nabla f||<=L$, il mio testo di analisi dice che ci permette di ottenere
\[|y'(t)-f(t,y(t))| \leq L(t-t_i)\sqrt{1+f(t_i,y_i)^2}.\]
Qualcuno mi aiuterebbe ad arrivare al motivo per cui vale una tale disuguaglianza?
Ho provato utilizzando la formula di Taylor il resto di Lagrange, ma non sono certo che sia questa la via giusta...
Grazie di cuore a tutti!!!
\[y(t)=y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i),\text{ } t \in [t_i,t_{i+1}]\]
la differenza tra la cui derivata e \(f(t,y(t))\) è
\[y'(t)-f(t,y(t))=f(t_i,y_i)-f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i))\]
che dunque, con una limitazione su $||\nabla f||<=L$, il mio testo di analisi dice che ci permette di ottenere
\[|y'(t)-f(t,y(t))| \leq L(t-t_i)\sqrt{1+f(t_i,y_i)^2}.\]
Qualcuno mi aiuterebbe ad arrivare al motivo per cui vale una tale disuguaglianza?
Ho provato utilizzando la formula di Taylor il resto di Lagrange, ma non sono certo che sia questa la via giusta...
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Illustro un po' il mio maldestro tentativo... Ammesso che $f$ sia di classe $C^2$ in un aperto contenente il rettangolo \([t_i,t]×[y_i,y(t)]\) (o \( [t_i,t]×[y(t),y_i] \) a seconda di che cos'è maggiore) proverei a calcolare la formula di Taylor che mi pare assicuri l'esistenza di uno \(\vec \xi\) sulla diagonale del rettangolo (mi esprimo geometricamente per essere più breve) tale che
\( f(t,y(t))-f(t_i,y_i)=f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i))-f(t_i,y_i)\)
\(=\nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} + \frac{1}{2} H_f (\vec \xi) \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) dove $H_f$ è la matrica hessiana di $f$.
Chiamo \(q\) la forma quadratica \(\frac{1}{2} H_f (\vec \xi) \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) e chiamo $R$ l'espressione \(R=q^2+2q \nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) ed osservo che, chiamando $\partial_t f$ e $\partial_y f$ le due derivate parziali di \(f(t,y)\) (parziali, senza considerare la dipendenza di $y$ da $t$),
\(|f(t,y(t))-f(t_i,y_i)|= \sqrt{(\partial_t f(t,y)(t-t_i)+\partial_y f(t,y)f(t_i,y_i)(t-t_i))^2+R}\)
\(\leq \sqrt{(t-t_i)^2 ((\partial_t f(t,y))^2+(\partial_y f(t,y))^2+(f(t_i,y_i)\partial_t f(t,y))^2+(f(t_i,y_i)\partial_y f(t,y))^2)+R)}\).
Chiamando $\rho=R/(||\nabla f(t,y)||(t-t_i))^2$ direi quindi che
\(|f(t,y(t))-f(t_i,y_i)| \leq (t-t_i)||\nabla f(t,y)||\sqrt{1+(f(t_i,y_i))^2+\rho} \)
e ponendo \(L \geq ||\nabla f||\sqrt{1+\frac{\rho}{1+(f(t_i,y_i))^2}}\) la tesi...
Però il mio testo dice che l'errore è proporzionale a $t-t_i$, mentre io trovo quello che chiamo $\rho$ che è somma di un addendo contenente il fattore $(t-t_i)^2$ che può essere "raccolto fuori" dalla radice con un addendo con il fattore $t-t_i$ (1° grado), cioè \(\frac{2q \nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}}{(||\nabla f(t,y)||(t-t_i))^2}\), che non può...
\( f(t,y(t))-f(t_i,y_i)=f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i))-f(t_i,y_i)\)
\(=\nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} + \frac{1}{2} H_f (\vec \xi) \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) dove $H_f$ è la matrica hessiana di $f$.
Chiamo \(q\) la forma quadratica \(\frac{1}{2} H_f (\vec \xi) \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) e chiamo $R$ l'espressione \(R=q^2+2q \nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}\) ed osservo che, chiamando $\partial_t f$ e $\partial_y f$ le due derivate parziali di \(f(t,y)\) (parziali, senza considerare la dipendenza di $y$ da $t$),
\(|f(t,y(t))-f(t_i,y_i)|= \sqrt{(\partial_t f(t,y)(t-t_i)+\partial_y f(t,y)f(t_i,y_i)(t-t_i))^2+R}\)
\(\leq \sqrt{(t-t_i)^2 ((\partial_t f(t,y))^2+(\partial_y f(t,y))^2+(f(t_i,y_i)\partial_t f(t,y))^2+(f(t_i,y_i)\partial_y f(t,y))^2)+R)}\).
Chiamando $\rho=R/(||\nabla f(t,y)||(t-t_i))^2$ direi quindi che
\(|f(t,y(t))-f(t_i,y_i)| \leq (t-t_i)||\nabla f(t,y)||\sqrt{1+(f(t_i,y_i))^2+\rho} \)
e ponendo \(L \geq ||\nabla f||\sqrt{1+\frac{\rho}{1+(f(t_i,y_i))^2}}\) la tesi...
Però il mio testo dice che l'errore è proporzionale a $t-t_i$, mentre io trovo quello che chiamo $\rho$ che è somma di un addendo contenente il fattore $(t-t_i)^2$ che può essere "raccolto fuori" dalla radice con un addendo con il fattore $t-t_i$ (1° grado), cioè \(\frac{2q \nabla f(t,y) · \begin{pmatrix} t-t_i \\ (t-t_i)f(t_i,y_i) \end{pmatrix}}{(||\nabla f(t,y)||(t-t_i))^2}\), che non può...
Davide guarda, tu ultimamente stai scrivendo dei bestioni zeppi di formule fitte fitte e io invece ho la testa altrove per via della primavera, per cui non sono proprio in grado di leggerli! 
Ti dico quindi direttamente come farei io. Dalla limitazione sulla norma del gradiente di \(f\), e dal fatto che il suo dominio è per forza di cose convesso (e sennò rischi di incappare in una singolarità quando applichi il metodo di Eulero), ricaviamo che \(L\) è una costante di Lipschitz per \(f\). Se non sbaglio quella data è proprio la disuguaglianza di Lipschitzianità applicata qui:
\[y'(t)-f(t,y(t))=f(t_i,y_i)-f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i)).\]
Ti dico quindi direttamente come farei io. Dalla limitazione sulla norma del gradiente di \(f\), e dal fatto che il suo dominio è per forza di cose convesso (e sennò rischi di incappare in una singolarità quando applichi il metodo di Eulero), ricaviamo che \(L\) è una costante di Lipschitz per \(f\). Se non sbaglio quella data è proprio la disuguaglianza di Lipschitzianità applicata qui:
\[y'(t)-f(t,y(t))=f(t_i,y_i)-f(t,y_i+(t-t_i)f(t_i,y_i)).\]
Non ci avevo proprio pensato: in effetti la condizione di Lipschitzianità era stata solo introdotto in un esercizietto "anonimo" del capitolo precedente a quello dove ho trovato la disuguaglianza...
$+oo$ grazie, Dissonance!!!
$+oo$ grazie, Dissonance!!!
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