Stima di un limite di una funzione integrale

[Mephlip]

Salve a tutti, la richiesta è di dimostrare che il limite

$$\lim_{x\to+\infty}\int_1^xe^{-y^2}dy$$

appartenga a $[e^(-4),1]$.

Per la stima dall'alto ho ragionato così: la funzione $f(y)=e^{-y^2}$ è monotona decrescente nell'intervallo $[0,+\infty)$, perciò essendo $y^2 \geq y$ per $y \geq 1$ si ha che in $[1,+\infty)$ risulta $e^{-y^2} \leq e^-y$.
Perciò usando la monotonia dell'integrale e passando al limite ambo i membri si ha

$$\lim_{x\to+\infty}\int_1^xe^{-y^2}dy \leq \lim_{x\to+\infty}\int_1^xe^{-y}dy=\lim_{x\to+\infty}[-e^{-y}]_{y=1}^{y=x}=e^{-1}$$

Mi confermate che tutto ciò che ho detto è motivato correttamente (o correggete in caso di errori)?

Per la stima dall'alto non ho capito una cosa: vi riporto in rosso la risoluzione

D'altra parte

$$\color{red} \int_1^xe^{-y^2}dy \geq \int_1^2e^{-4}dy=e^{-4}$$

Non ho capito come mai ha minorato la funzione valutandola in $y=2$ e ha considerato l'intervallo di integrazione $[1,2]$.

L'unica cosa che mi è venuta in mente è che poi passerà a limite per $x\to+\infty$, perciò "definitivamente" $x \geq 2$, ma comunque non mi spiego la scelta dell'intervallo $[1,2]$ (se non per far si che l'integrale valga $1$ essendo dato solo dalla differenza degli estremi visto che $e^{-4}$ è costante).

Grazie a tutti!

[anonymous_0b37e9]

"Mephlip":
Mi confermate che tutto ciò che ho detto ...

Confermo.

"Mephlip":
Non ho capito come mai ...

Infatti, si può fare di meglio:

Passo 1

$[AA \delta gt 0] ^^ [AA x gt 1+\delta]$

$\int_{1}^{x}e^(-y^2)dy = \int_{1}^{1+\delta}e^(-y^2)dy+\int_{1+\delta}^{x}e^(-y^2)dy gt= \int_{1}^{1+\delta}e^(-(1+\delta)^2)dy=\deltae^(-(1+\delta)^2) rarr$

$rarr \int_{1}^{x}e^(-y^2)dy gt= \deltae^(-(1+\delta)^2)$

Passo 2

$[f=\deltae^(-(1+\delta)^2)] rarr [(df)/(d\delta)=(-2\delta^2-2\delta+1)e^(-(1+\delta)^2)] rarr [f_(max)=1/2(sqrt3-1)e^(-1-sqrt3/2)] rarr$

$rarr [\int_{1}^{x}e^(-y^2)dy gt= 1/2(sqrt3-1)e^(-1-sqrt3/2) gt e^(-4)]$

[Mephlip]

Infatti, si può fare di meglio:

Passo 1

$[AA \delta gt 0] ^^ [AA x gt 1+\delta]$

Grazie molte per la risposta! Volevo chiederti un ultimo dettaglio: avevo provato a fare un ragionamento simile, ma mi bloccava l'idea di non sapere dove appartiene $x$; nello specifico, non sapendo a priori se $x>1$, non potrei spezzare l'integrale in quella maniera (o meglio, potrei ma ci sarebbero dei casi in cui l'estremo inferiore di integrazione risulta maggiore dell'estremo superiore di integrazione).
Poi ho pensato che, effettivamente, $x\to\+\infty$; quindi diventa più grande di un qualsiasi $M$ arbitrario e dunque anche più grande di $1$; ha senso questo argomento per motivare la tua scelta di considerare $x>1+\delta$ oppure ci sono altre considerazioni dietro?
Non so se ho esternato bene il mio dubbio, mi viene chiesta una stima sul limite ma a priori potrebbe anche essere $x<1$; questo dovrebbe portare a distinguere dei casi, a meno che non c'è appunto un ragionamento (non so se il mio è corretto) come quello che ho scritto su che mi esclude quei casi.
Grazie!