Stima del resto di una serie di Fourier
Salve a tutti, chiedo una mano per riflettere sul seguente problema:
Ho calcolato i coefficienti di Fourier della funzione $f(x) = x^2$ in $L^2(-1,1)$, rispetto alla base $ { (e^(i npix))/sqrt(2)}_(ninZ)$
sperando di aver fatto bene i conti (in caso contrario provvederò a correggere), ho trovato:
$c_0 = (w_0,f) = sqrt(2)/3$
$c_n = (w_n,f) = 1/sqrt(2)[ ((e^(i npi) - e^ -( i npi))/(i npi)) -2 ((e^(i npi) - e^ - (i npi))/(n pi)^2) - 2((e^(i npi) - e^ - (i npi))/(i(n pi)^3))]$
$ (f,g) = int_-1^1 bar(f)(x) g(x) dx $ è la definizione di prodotto scalare che sto usando.
A questo punto mi viene chiesto di scrivere lo sviluppo di Fourier $S_N$ fino all'ordine N e di dare del valore di $R_N = ||f- S_N||_2$ (dove $|| - ||_2$ è la norma sullo spazio $L^2(-1,1)$ definita da quel prodotto scalare)
Io ho provato a scrivere $f-S_N = Sigma_(|n|>=N+1) c_n * (e^(i npix))/sqrt(2$ per scrivere "lo scarto" tra $f$ e $S_N$ , i termini esterni ad $S_N$, poi sfruttando l'uguaglianza di Parseval so che
$||f-S_N||_2^2 = Sigma_(|n|>=N+1 )|c_n|^2.
Da qui non so come si possono maggiorare in modulo le quantità $c_n$ che ho trovato con qualcosa che converga, per dare una stima di questo scarto quadratico, credo scrivendo serie o integrali convergenti che le maggiorino. Vorrei almeno capire il metodo, anche se non dovessimo rifarci a questo caso specifico o con qualche esempio più semplice (per ora questo è l'unico che ho saputo portare ...)
Comunque grazie per l'attenzione
Ho calcolato i coefficienti di Fourier della funzione $f(x) = x^2$ in $L^2(-1,1)$, rispetto alla base $ { (e^(i npix))/sqrt(2)}_(ninZ)$
sperando di aver fatto bene i conti (in caso contrario provvederò a correggere), ho trovato:
$c_0 = (w_0,f) = sqrt(2)/3$
$c_n = (w_n,f) = 1/sqrt(2)[ ((e^(i npi) - e^ -( i npi))/(i npi)) -2 ((e^(i npi) - e^ - (i npi))/(n pi)^2) - 2((e^(i npi) - e^ - (i npi))/(i(n pi)^3))]$
$ (f,g) = int_-1^1 bar(f)(x) g(x) dx $ è la definizione di prodotto scalare che sto usando.
A questo punto mi viene chiesto di scrivere lo sviluppo di Fourier $S_N$ fino all'ordine N e di dare del valore di $R_N = ||f- S_N||_2$ (dove $|| - ||_2$ è la norma sullo spazio $L^2(-1,1)$ definita da quel prodotto scalare)
Io ho provato a scrivere $f-S_N = Sigma_(|n|>=N+1) c_n * (e^(i npix))/sqrt(2$ per scrivere "lo scarto" tra $f$ e $S_N$ , i termini esterni ad $S_N$, poi sfruttando l'uguaglianza di Parseval so che
$||f-S_N||_2^2 = Sigma_(|n|>=N+1 )|c_n|^2.
Da qui non so come si possono maggiorare in modulo le quantità $c_n$ che ho trovato con qualcosa che converga, per dare una stima di questo scarto quadratico, credo scrivendo serie o integrali convergenti che le maggiorino. Vorrei almeno capire il metodo, anche se non dovessimo rifarci a questo caso specifico o con qualche esempio più semplice (per ora questo è l'unico che ho saputo portare ...)
Comunque grazie per l'attenzione
Risposte
Qualcuno ha un esempio diverso anche elementare, per trattare la stessa cosa?
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