Stima asintotica
Buongiorno a tutti,
è sbagliato valutare il $\lim_{n \to \infty}x^nln(x+n)$ $AAx in[0,1[$, riscritto nella forma $\lim_{n \to \infty}(ln(x+n))/(1/x^n)$ attraverso una stima asintotica?
è sbagliato valutare il $\lim_{n \to \infty}x^nln(x+n)$ $AAx in[0,1[$, riscritto nella forma $\lim_{n \to \infty}(ln(x+n))/(1/x^n)$ attraverso una stima asintotica?
Risposte
Dipende da come la fai, la stima.
Studiare la convergenza puntuale della successione.
Beh, quella roba lì converge a zero e non c'è bisogno della zingara per indovinarlo...
Ma infatti è decisamente banale la cosa, solo non so come dimostrare formalmente il risultato...
Scusa, hai un esponenziale con base $<1$ moltiplicato per un logaritmo, ed il primo fattore tende a zero molto rapidamente, quindi...
Quindi non c'è un modo per dimostrare numericamente che converge a zero, sebbene questo sia chiaro?
Mah... a dire il vero lo hai dimostrato.
Sia \((f_n)_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni \(f_n : X \to Y \) e sia \(f : X \to Y \) allora diciamo che \( f_n \to f \) puntualmente quando \( n \to \infty \) se
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \]
per ogni \(x \in X \).
Ora la tua successione di funzioni è \(f_n(x) = x^n \ln(x+n) \) e la tua funzione è \( f \equiv 0 \) pertanto fissando un arbitrario \(x \in [0,1[ = X \) ottieni che
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \]
(te lo calcoli questo limite usando \(x\) come parametro). E siccome hai preso un \(x\) arbitrario allora è vero per ogni \(x\).
La definizione è soddisfatta, ergo hai dimostrato che \(f_n \) converge puntualmente a zero.
O forse tu intendi dimostrare che
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \]
in tal caso puoi farlo nel seguente modo: fissi un \(x\) arbitrario in \( [0,1[\) e consideri \( f_n(x) \) come una successione dipendente solo da \(n\) e utilizzi la definizione di limite. Ergo
\( \forall \epsilon > 0 \) esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n > N \) risulta che \( \left| f_n - 0 \right| \leq \epsilon \) od in altre parole
\[ \left| x^n \ln(x+n) \right| \leq \epsilon \]
Però diciamo che è abbastanza inutile tutto questo perché è chiaro che quel limite tende a zero perché hai cose come ordini di infiniti/infinitesimi e se puoi utilizzare quei risultati è una dimostrazione altrettanto valida e altrettanto formale dire che per \( x \in [0,1[ \) allora
\[ \lim_{n \to \infty} x^n \ln(x+n) = 0 \]
Proprio perché \(x^n \) decresce moolto più rapidamente di quanto non cresca \( \ln(x+n) \).
Sia \((f_n)_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni \(f_n : X \to Y \) e sia \(f : X \to Y \) allora diciamo che \( f_n \to f \) puntualmente quando \( n \to \infty \) se
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \]
per ogni \(x \in X \).
Ora la tua successione di funzioni è \(f_n(x) = x^n \ln(x+n) \) e la tua funzione è \( f \equiv 0 \) pertanto fissando un arbitrario \(x \in [0,1[ = X \) ottieni che
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \]
(te lo calcoli questo limite usando \(x\) come parametro). E siccome hai preso un \(x\) arbitrario allora è vero per ogni \(x\).
La definizione è soddisfatta, ergo hai dimostrato che \(f_n \) converge puntualmente a zero.
O forse tu intendi dimostrare che
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \]
in tal caso puoi farlo nel seguente modo: fissi un \(x\) arbitrario in \( [0,1[\) e consideri \( f_n(x) \) come una successione dipendente solo da \(n\) e utilizzi la definizione di limite. Ergo
\( \forall \epsilon > 0 \) esiste \( N \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n > N \) risulta che \( \left| f_n - 0 \right| \leq \epsilon \) od in altre parole
\[ \left| x^n \ln(x+n) \right| \leq \epsilon \]
Però diciamo che è abbastanza inutile tutto questo perché è chiaro che quel limite tende a zero perché hai cose come ordini di infiniti/infinitesimi e se puoi utilizzare quei risultati è una dimostrazione altrettanto valida e altrettanto formale dire che per \( x \in [0,1[ \) allora
\[ \lim_{n \to \infty} x^n \ln(x+n) = 0 \]
Proprio perché \(x^n \) decresce moolto più rapidamente di quanto non cresca \( \ln(x+n) \).
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