Stima asintotica
Carissimi voi tutti, vi propongo alucne riflessioni su di un argomento che credo interessante di cui, purtroppo, non riesco a venire a capo.
Ho il seguente integrale: $ F(R)=int_(R)^()f(x)(e^-(R(x)^2)) dx $
devo dimostrare che per ogni R>1 succede che $ || F(R)||
Il suggerimento era di usare il metodo della fase stazionaria. Ma, a quanto mi risulta, tale metodo si può utilizzare solamente in integrali di tipo oscillatorio ed in più, dovrebbe valere solamente per valori molto alti di R.
Ho visto che esistono vari altri metodi per le stime asintotiche ma credo che nessuno di quelli che ho visto si possa applicare alla funzione in esame. Per esempio una stima "alla Laplace" potrebbe essere utile solamente se R fosse negativo.
Perchè mi preme tanto riuscire a fare questa stima?
Ho l'equazione di Klein-Gordon lineare ed omogenea in una sola variabile spaziale. Proprio nella proposizione dell'esercizio sulla PDE viene indicato il fatto che è difficile tirar fuori una soluzione esplicita ma che si può fare una stima del tipo sopra. In sostanza se riesco a stimare quanto proposto posso fare una stima sull'andamento della soluzione della PDE. Secondo chi ha scritto l'esercizio usando il "metodo della fase stazionaria". Mi sono anche chiesto se non si fossero dimenticati un'unità immaginaria all'esponente dentro l'integrale.
Ho il seguente integrale: $ F(R)=int_(R)^()f(x)(e^-(R(x)^2)) dx $
devo dimostrare che per ogni R>1 succede che $ || F(R)||
Il suggerimento era di usare il metodo della fase stazionaria. Ma, a quanto mi risulta, tale metodo si può utilizzare solamente in integrali di tipo oscillatorio ed in più, dovrebbe valere solamente per valori molto alti di R.
Ho visto che esistono vari altri metodi per le stime asintotiche ma credo che nessuno di quelli che ho visto si possa applicare alla funzione in esame. Per esempio una stima "alla Laplace" potrebbe essere utile solamente se R fosse negativo.
Perchè mi preme tanto riuscire a fare questa stima?
Ho l'equazione di Klein-Gordon lineare ed omogenea in una sola variabile spaziale. Proprio nella proposizione dell'esercizio sulla PDE viene indicato il fatto che è difficile tirar fuori una soluzione esplicita ma che si può fare una stima del tipo sopra. In sostanza se riesco a stimare quanto proposto posso fare una stima sull'andamento della soluzione della PDE. Secondo chi ha scritto l'esercizio usando il "metodo della fase stazionaria". Mi sono anche chiesto se non si fossero dimenticati un'unità immaginaria all'esponente dentro l'integrale.
Risposte
L'integrale è esteso a \([0,R[\)?
Che tipo di funzione è \(f\)?
Che tipo di funzione è \(f\)?
Scusami moltissimo, sono stato impreciso, l'integrale è esteso a tutto R e la f è una funzione infinitamente derivabile a supporto compatto. Scusa ancora, mi rendo conto che quella R poteva essere mal interpretata e che le caratteristiche della f erano essenziali per la soluzione del problema
Cioé, per evitare incomprensioni, vorresti far vedere che vale una disuguaglianza del tipo:
\[
\tag{1}
\left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| \leq C\ \sqrt{R}
\]
con \(f\in C_c^\infty (\mathbb{R})\) e \(C=C(f)>0\)?
Chiaramente la (1) è falsa per \(R\) "piccolo" (poiché in tal caso il primo membro è una roba non necessariamente \(=0\), mentre il secondo membro è nullo); quindi, se la cosa vale, essa vale per \(R\) "grande"...
Ma d'altro canto la (1) mi pare assai banale, perché per \(R\) "grande" l'integrale al primo membro diventa "piccolo": infatti:
\[
\begin{split}
\left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| & \leq \int_{-\infty}^\infty \left| f(x)\right|\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\\
&\leq \| f\|_\infty\ \int_{-\infty}^\infty e^{-Rx^2}\ \text{d} x\\
&\stackrel{u=\sqrt{R}\ x}{=} \frac{1}{\sqrt{R}}\ \| f\|_\infty\ \underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\ \text{d} u}_{\color{maroon}{=\sqrt{\pi}}}\\
&= C(f)\ \frac{1}{\sqrt{R}}
\end{split}
\]
in cui \(C(f):= \sqrt{\pi}\ \|f\|_\infty\), perciò vale:
\[
\lim_{R\to \infty} \left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| = 0
\]
mentre la funzione \(C(f)\ \sqrt{R}\), con \(C(f)\) come sopra, tende all'infinito; dunque la disuguaglianza (1) è ovvia.
Non è che ti interessava una stima per \(R\to 0^+\)?
Nel caso, come detto sopra, non credo che la tua stima sia corretta.
\[
\tag{1}
\left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| \leq C\ \sqrt{R}
\]
con \(f\in C_c^\infty (\mathbb{R})\) e \(C=C(f)>0\)?
Chiaramente la (1) è falsa per \(R\) "piccolo" (poiché in tal caso il primo membro è una roba non necessariamente \(=0\), mentre il secondo membro è nullo); quindi, se la cosa vale, essa vale per \(R\) "grande"...
Ma d'altro canto la (1) mi pare assai banale, perché per \(R\) "grande" l'integrale al primo membro diventa "piccolo": infatti:
\[
\begin{split}
\left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| & \leq \int_{-\infty}^\infty \left| f(x)\right|\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\\
&\leq \| f\|_\infty\ \int_{-\infty}^\infty e^{-Rx^2}\ \text{d} x\\
&\stackrel{u=\sqrt{R}\ x}{=} \frac{1}{\sqrt{R}}\ \| f\|_\infty\ \underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\ \text{d} u}_{\color{maroon}{=\sqrt{\pi}}}\\
&= C(f)\ \frac{1}{\sqrt{R}}
\end{split}
\]
in cui \(C(f):= \sqrt{\pi}\ \|f\|_\infty\), perciò vale:
\[
\lim_{R\to \infty} \left| \int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-Rx^2}\ \text{d} x\right| = 0
\]
mentre la funzione \(C(f)\ \sqrt{R}\), con \(C(f)\) come sopra, tende all'infinito; dunque la disuguaglianza (1) è ovvia.
Non è che ti interessava una stima per \(R\to 0^+\)?
Nel caso, come detto sopra, non credo che la tua stima sia corretta.
La tua risposta è stata precisissima. Ed è esattamente ciò che intendevo. In effetti la stima fatta così è quasi banale. Ero stato "traviato" dal fatto che fosse esplicitamente suggerito di utilizzare il metodo della "fase stazionaria".
A questo punto andrebbe credo usata la stima precedente per dare una stima della soluzione dell'equazione
$ partial ^2/(partial t)^2u-partial ^2/(partial x)^2u+u=0 $
con condizioni iniziali assegnate u(x,0)=0 e $ partial /(partial t) u(x,0)=e^(-x^2 $
La stima che dovrebbe venir fuori, in qualche modo, ma non so come, riferendosi alla stima precedente è che l'estremo superiore (valutato sulle x) del modulo della funzione soluzione sia $ <=Ct^(-1/2 $
$ partial ^2/(partial t)^2u-partial ^2/(partial x)^2u+u=0 $
con condizioni iniziali assegnate u(x,0)=0 e $ partial /(partial t) u(x,0)=e^(-x^2 $
La stima che dovrebbe venir fuori, in qualche modo, ma non so come, riferendosi alla stima precedente è che l'estremo superiore (valutato sulle x) del modulo della funzione soluzione sia $ <=Ct^(-1/2 $
Preciso che anche la stima precedente era da confrontare con C*R^(-1/2) e non alla (1/2)
Ah, ecco... La prossima volta, stai più attento a ciò che scrivi.
Scusami....sono mortificato.
Mi dispiace molto di essere stato impreciso e grazie per avermi aiutato.
Mi dispiace molto di essere stato impreciso e grazie per avermi aiutato.
Ho tentato di risolvere l'equazione di Klein-Gordon con il metodo della trasformata di Fourier. Quello che ottengo è che la trasformata della soluzione vale
$ u(w,t)=e^(w^2) sin(sqrt(1+w^2)*t)/sqrt(1+w^2 $
A questo punto vorrei mostrare che vale la stima $ Sup||f(x,t)|| <= C/sqrt(t) $ dove il sup viene preso al variare di x sull'asse reale, con f ovviamente soluzione dell'equazione di K.G.
Se i conti sono corretti dovrebbe essere che f è l'antitrasformata della u.
Non riesco ad antitrasformare direttamente la funzione sopra. (Ignoranza mia?)
Ho provato anche a fare il cambiamento di variabile $ sqrt(1+w^2)*t=y $ all'interno dell'integrale di Fourier ma anche in questo modo non riesco a ricondurmi alla stima desiderata.
Mi pare che neppure il metodo della fase stazionaria sia applicabile poichè non ci si può mai ricondurre ad un integrale del tipo $ int f(x)e^(iwG(x))dx $ .
Avete qualche suggerimento oppure vi accorgete di qualche errore che non riesco a vedere? Mille grazie!
$ u(w,t)=e^(w^2) sin(sqrt(1+w^2)*t)/sqrt(1+w^2 $
A questo punto vorrei mostrare che vale la stima $ Sup||f(x,t)|| <= C/sqrt(t) $ dove il sup viene preso al variare di x sull'asse reale, con f ovviamente soluzione dell'equazione di K.G.
Se i conti sono corretti dovrebbe essere che f è l'antitrasformata della u.
Non riesco ad antitrasformare direttamente la funzione sopra. (Ignoranza mia?)
Ho provato anche a fare il cambiamento di variabile $ sqrt(1+w^2)*t=y $ all'interno dell'integrale di Fourier ma anche in questo modo non riesco a ricondurmi alla stima desiderata.
Mi pare che neppure il metodo della fase stazionaria sia applicabile poichè non ci si può mai ricondurre ad un integrale del tipo $ int f(x)e^(iwG(x))dx $ .
Avete qualche suggerimento oppure vi accorgete di qualche errore che non riesco a vedere? Mille grazie!
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