Step per Studio Problema di cauchy
Ciao a tutti, non mi sono particolarmente chiari i passi corretti per studiare un problema di cauchy (come da oggetto).
Scrivo direttamente un esempio per essere "guidato" nella sua risoluzione.
$ { ( y' = 3sin(2x) - tg(x)y ),( y(0) = 1 ):} $
Ora dovrei vedere se ammette soluzione e se e' unica.
Teorema di Esist e Unicit in piccolo Se ${ f(x,y) = 3sin(2x) - tg(x)y }$ e' definita in un rettangolo${ I x J={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b, a>0,b>0} }$ E f(x,y) e' continua su I x J E f(x,y) e' Lipshitziana in y e uniformemente risp a x, ALLORA esiste un unica soluzione $ y in C ([x0-ß,x0+ß], RR) $ con $ ß=min {a, b/M} $ e ${ M=max{f(x,y) | (x,y) in I x J} }$
Cosa dovrei fare ?
Ora dovrei verificare se e' definita in un rettangolo, ma come?
Il dominio di f(x,y) e' $RR - {x=pi/2 +kpi}$ e f(x,y) e' continua nel SUO ID, giusto?
Scrivo direttamente un esempio per essere "guidato" nella sua risoluzione.
$ { ( y' = 3sin(2x) - tg(x)y ),( y(0) = 1 ):} $
Ora dovrei vedere se ammette soluzione e se e' unica.
Teorema di Esist e Unicit in piccolo Se ${ f(x,y) = 3sin(2x) - tg(x)y }$ e' definita in un rettangolo${ I x J={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b, a>0,b>0} }$ E f(x,y) e' continua su I x J E f(x,y) e' Lipshitziana in y e uniformemente risp a x, ALLORA esiste un unica soluzione $ y in C ([x0-ß,x0+ß], RR) $ con $ ß=min {a, b/M} $ e ${ M=max{f(x,y) | (x,y) in I x J} }$
Cosa dovrei fare ?
Ora dovrei verificare se e' definita in un rettangolo, ma come?
Il dominio di f(x,y) e' $RR - {x=pi/2 +kpi}$ e f(x,y) e' continua nel SUO ID, giusto?
Risposte
Per verificare se \(f(x,y)\) è localmente lipschitziana in \(y\) uniformemente in \(x\) è sufficiente studiare la continuità delle sue derivate parziali.
più precisamente le derivate parziali di f(x,y) devono essere continue in che intervallo ? E come faccio a trovare la a e la b della definizione $I xJ={∣∣x−x0∣∣≤a,∣∣y−y0∣∣≤b,a>0,b>0}$ per poi stabilire l'intervallo che contiene la soluzione ?
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