Stavolta ecco una serie "teorica"?!
Non so se si può chiamare serie teorica..ma di certo questo non è un esercizio comune..
Dunque data la serie
$\sum_{n=1}^infty (a_(n+1)-a_n)\ $
Stabilirne il carattere a seconda del comportamento di $a_n$
Essendo $a_n
Nel caso in cui $\lim_{n \to \infty}a_n\=l$ che si può concludere sulla serie? Non riesco proprio a capirlo..
Ho fatto anche altre considerazioni sfruttando il fatto che una serie è definita come limite delle somme parziali..
detto ciò ho costruito la successione delle somme parziali $s_n=a_1+a_2+....+a_n+a_(n+1)-a_1-a_2-....-a_n=a_(n+1)$
A questo punto $\lim_{n \to \infty}s_n\=\lim_{n \to \infty}a_(n+1)\ $
Posso concludere qualcosa su questo limite sapendo che $\lim_{n \to \infty}a_n\=l$?
Dunque data la serie
$\sum_{n=1}^infty (a_(n+1)-a_n)\ $
Stabilirne il carattere a seconda del comportamento di $a_n$
Essendo $a_n
Nel caso in cui $\lim_{n \to \infty}a_n\=l$ che si può concludere sulla serie? Non riesco proprio a capirlo..
Ho fatto anche altre considerazioni sfruttando il fatto che una serie è definita come limite delle somme parziali..
detto ciò ho costruito la successione delle somme parziali $s_n=a_1+a_2+....+a_n+a_(n+1)-a_1-a_2-....-a_n=a_(n+1)$
A questo punto $\lim_{n \to \infty}s_n\=\lim_{n \to \infty}a_(n+1)\ $
Posso concludere qualcosa su questo limite sapendo che $\lim_{n \to \infty}a_n\=l$?
Risposte
La ridotta \(n\)-esima vale
\[
s_n = a_{n+1}- a_1.
\]
Di conseguenza, la serie converge se e solo se converge la successione \((a_n)\).
PS: le serie di questo tipo si chiamano telescopiche.
\[
s_n = a_{n+1}- a_1.
\]
Di conseguenza, la serie converge se e solo se converge la successione \((a_n)\).
PS: le serie di questo tipo si chiamano telescopiche.
Ma $s_n$ io ottengo che è uguale ad $a_(n+1)$ soltanto.. come fa ad uscire $a_1$?
Ho studiato le serie telescopiche e da quanto ho capito è possibile scrivere la successione $s_n$ per il semplice fatto che si cancellano tutti i termini tranne il primo e l'ultimo ma qui non capisco come sia possibile..Se faccio $s_n$ non si cancellano tutti i termini tranne $a_(n+1)$?
Ho studiato le serie telescopiche e da quanto ho capito è possibile scrivere la successione $s_n$ per il semplice fatto che si cancellano tutti i termini tranne il primo e l'ultimo ma qui non capisco come sia possibile..Se faccio $s_n$ non si cancellano tutti i termini tranne $a_(n+1)$?
\[
s_n := \sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k) = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_{n+1}-a_n) = a_{n+1}-a_1.
\]
s_n := \sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k) = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_{n+1}-a_n) = a_{n+1}-a_1.
\]
Grazie un sacco ancora una volta per aver sbrogliato i miei dubbi stupidi.. 
Se la sequenza $a_{n}$ e' soluzione di una equazione alle differenze del tipo...
$\Delta_{n}=a_{n+1}-a_{n} = f(n,a_{n})\ ,\ a_{1}=\alpha$ (1)
... sara'...
$a_{n}= a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_{n})$ (2)
... e cosi' la convergenza della serie coincide con la convergenza della sequenza. La convergenza dipende da $a_{1}$ e da $f(*,*)$ e la questione e' stata da me trattata tempo fa in un articolo tutoriale scritto su un sito matematico in lingua inglese...
http://www.mathhelpboards.com/f15/diffe ... /#post2492
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\Delta_{n}=a_{n+1}-a_{n} = f(n,a_{n})\ ,\ a_{1}=\alpha$ (1)
... sara'...
$a_{n}= a_{1} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_{n})$ (2)
... e cosi' la convergenza della serie coincide con la convergenza della sequenza. La convergenza dipende da $a_{1}$ e da $f(*,*)$ e la questione e' stata da me trattata tempo fa in un articolo tutoriale scritto su un sito matematico in lingua inglese...
http://www.mathhelpboards.com/f15/diffe ... /#post2492
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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