Stabilità soluzioni sistema EDO lineari
Salve a tutti! 
Non ho ben compreso il seguente teorema.
\[\tag{6.7}\dot{\textbf{x}}=\mathbb{A}\textbf{x}\]
con \(\mathbb{A}\) non singolare e non dipendente da \(t\)
le definizioni sono le seguenti:
Sicuramente sarà una banalità, ma non lo riesco proprio a capire nonostante ce l'abbia spiattellato lì davanti.
Non ho ben compreso il seguente teorema.
\[\tag{6.7}\dot{\textbf{x}}=\mathbb{A}\textbf{x}\]
con \(\mathbb{A}\) non singolare e non dipendente da \(t\)
le definizioni sono le seguenti:
Sicuramente sarà una banalità, ma non lo riesco proprio a capire nonostante ce l'abbia spiattellato lì davanti.
Risposte
Credo di aver risolto, ma non sono certo che il ragionamento sia corretto.
Per ipotesi \(\textbf{x}(t;\textbf{x}_0)\) e \(\textbf{x}^*(t;\textbf{x}_0^*)\) sono soluzioni di \((6.7)\), dunque:
\[\begin{split} &\dot{\textbf{x}}=\mathbb{A}\textbf{x} \\
&\dot{\textbf{x}}^*=\mathbb{A}\textbf{x}^* \end{split}\]
Per la linearità di \(\mathbb{A}\) si ha:
\[\begin{split} \dot{\textbf{x}}-\dot{\textbf{x}}^*&=\mathbb{A}\textbf{x}-\mathbb{A}\textbf{x}^* \\
&=\mathbb{A}(\textbf{x}-\textbf{x}^*)
\end{split}\]
Ponendo \(\textbf{z}(t;\textbf{z}_0)=\textbf{x}(t;\textbf{x}_0)-\textbf{x}^*(t;\textbf{x}_0^*)\) e \(\textbf{z}_0=\textbf{x}_0-\textbf{x}_0^*\) si ottiene:
\[\dot{\textbf{z}}=\mathbb{A}\textbf{z}\]
Ora siccome \(\mathbb{A}\) non è singolare si ha che l'unica soluzione di equilibrio per il precedente sistema è
\[\textbf{z}_e=\textbf{0}\]
Tale soluzione di equilibrio è stabile se, fissato un \(\varepsilon>0\), si ha \(\forall \textbf{z}_0,t>t_0\) che:
\[\left \| \textbf{z}_0-\textbf{z}_e \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{z}-\textbf{z}_e \right \| < \varepsilon \]
siccome \(\textbf{z}_e=\textbf{0}\), si ha equivalentemente:
\[\left \| \textbf{z}_0 \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{z} \right \| < \varepsilon \]
quindi:
\[\left \| \textbf{x}_0-\textbf{x}_0^* \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{x}-\textbf{x}^* \right \| < \varepsilon \]
siamo dunque arrivati alla \((\text{Def.} 6.5 )\).
Abbiamo dunque dimostrato che
\[\textbf{0} \text{ stabile,stabile asintoticamente, instabile} \Rightarrow \textbf{x}^* \text{ stabile,stabile asintoticamente, instabile} \]
Per il viceversa dovrebbe bastare "ripercorrere all'indietro" questa dimostrazione, cioè partire dalla \((\text{Def.} 6.5 )\) costruire \(\textbf{z}\) ed arrivare alla \((\text{Def.} 6.3 )\).
Per ipotesi \(\textbf{x}(t;\textbf{x}_0)\) e \(\textbf{x}^*(t;\textbf{x}_0^*)\) sono soluzioni di \((6.7)\), dunque:
\[\begin{split} &\dot{\textbf{x}}=\mathbb{A}\textbf{x} \\
&\dot{\textbf{x}}^*=\mathbb{A}\textbf{x}^* \end{split}\]
Per la linearità di \(\mathbb{A}\) si ha:
\[\begin{split} \dot{\textbf{x}}-\dot{\textbf{x}}^*&=\mathbb{A}\textbf{x}-\mathbb{A}\textbf{x}^* \\
&=\mathbb{A}(\textbf{x}-\textbf{x}^*)
\end{split}\]
Ponendo \(\textbf{z}(t;\textbf{z}_0)=\textbf{x}(t;\textbf{x}_0)-\textbf{x}^*(t;\textbf{x}_0^*)\) e \(\textbf{z}_0=\textbf{x}_0-\textbf{x}_0^*\) si ottiene:
\[\dot{\textbf{z}}=\mathbb{A}\textbf{z}\]
Ora siccome \(\mathbb{A}\) non è singolare si ha che l'unica soluzione di equilibrio per il precedente sistema è
\[\textbf{z}_e=\textbf{0}\]
Tale soluzione di equilibrio è stabile se, fissato un \(\varepsilon>0\), si ha \(\forall \textbf{z}_0,t>t_0\) che:
\[\left \| \textbf{z}_0-\textbf{z}_e \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{z}-\textbf{z}_e \right \| < \varepsilon \]
siccome \(\textbf{z}_e=\textbf{0}\), si ha equivalentemente:
\[\left \| \textbf{z}_0 \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{z} \right \| < \varepsilon \]
quindi:
\[\left \| \textbf{x}_0-\textbf{x}_0^* \right \| < \delta(\varepsilon,t_0) \Rightarrow \left \| \textbf{x}-\textbf{x}^* \right \| < \varepsilon \]
siamo dunque arrivati alla \((\text{Def.} 6.5 )\).
Abbiamo dunque dimostrato che
\[\textbf{0} \text{ stabile,stabile asintoticamente, instabile} \Rightarrow \textbf{x}^* \text{ stabile,stabile asintoticamente, instabile} \]
Per il viceversa dovrebbe bastare "ripercorrere all'indietro" questa dimostrazione, cioè partire dalla \((\text{Def.} 6.5 )\) costruire \(\textbf{z}\) ed arrivare alla \((\text{Def.} 6.3 )\).
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