Stabilire se una funzione è trasformata di Laplace

[Drake_89]

Io so che data una funzione F(s), essa è trasformata di Laplace di un segnale se F(s) è analitica (infinite volte derivabile in
ogni punto e sviluppabile localmente in serie di Taylor) nel semipiano $ \sigma = Re(s) > \sigma_0 $ ed è tale che si
abbia $ \|F(s)\| = O(\frac {1}{s^k}), s to \infty $.
Io so che $\sigma$ è l'ascissa di convergenza, ossia l'estremo inferiore del semipiano nel quale la funzione è sommabile.
Ho un esempio:

$ F(z) = \frac {1}{z^2 + 5} $

Essa è la trasformata di Laplace di un segnale poiché è analitica nel semipiano $ Re(z) > 0 $ e si ha che
$ F(z) = O(\frac {1}{z^2}), \|z\| to \infty $

Il mio dubbio è sul come ricavarsi l'ascissa di convergenza. In questo caso è 0? Perché?
Provo ad azzardare una risposta :p
La funzione è derivabile ovunque tranne dove si annulla il denominatore. Il denominatore si annulla nei punti
+5i e -5i che sono sull'asse immaginario. Quindi la funzione è analitica a destra dell'asse immaginario, ossia per Re(z) > 0.
Se è così sembra quasi inutile questa discussione xD. Se avete degli approfondimenti, consigli, altre definizioni
utili a riguardo mi farebbe piacere

[gugo82]

"Drake_89":Ho un esempio:

$ F(z) = \frac {1}{z^2 + 5} $

Essa è la trasformata di Laplace di un segnale poiché è analitica nel semipiano $ Re(z) > 0 $ e si ha che
$ F(z) = O(\frac {1}{z^2}), \|z\| to \infty $

Il mio dubbio è sul come ricavarsi l'ascissa di convergenza. In questo caso è 0? Perché?
Provo ad azzardare una risposta :p
La funzione è derivabile ovunque tranne dove si annulla il denominatore. Il denominatore si annulla nei punti
+5i e -5i che sono sull'asse immaginario. Quindi la funzione è analitica a destra dell'asse immaginario, ossia per Re(z) > 0.
Se è così sembra quasi inutile questa discussione xD. Se avete degli approfondimenti, consigli, altre definizioni
utili a riguardo mi farebbe piacere

Giusto.

Inoltre, quella mi pare proprio la trasformata di Laplace di un seno... Prova un po'.

[Drake_89]

Oddio io so che la trasformata di Laplace di $ sinx = \frac {1}{s^2 + 1} $

[gugo82]

Vabbé, ma esiste la proprietà di riscalamento...

Dato che:
\[
\frac{1}{s^2+5} = \frac{1}{5}\ \frac{1}{(s/\sqrt{5})^2 +1}
\]
non dovrebbe essere difficile risalire all'antitrasformata.