Stabilire se una funzione è iniettiva o meno senza grafico
Ciao a tutti...
mi chiedevo se esista un modo per stabilire con facilità se una funzione è iniettiva o meno senza utilizzare il grafico della funzione e vedere se una qualsiasi retta parallela all'asse x interseca al più una volta la linea di funzione...
nel senso, si potrebbe usare la definizione di funzione secondo cui $f(x1) = f(x2)$ => $x1 = x2$
per esempio, se ho la funzione $f(x) = 2^x$
al di là del fatto che sia ovvio che questa funzione è iniettiva, posso stabilirlo con sicurezza se, supponendo che $2^(x1) = 2^(x2)$ allora per forza x1 = x2 perché il risultato di 2 elevato a due esponenti distinti è il medesimo solo se i due esponenti sono uguali... ma lo deduco per logica, col ragionamento!
Ma c'è un modo per stabirlo matematicamente senza dover ragionare logicamente?
mi chiedevo se esista un modo per stabilire con facilità se una funzione è iniettiva o meno senza utilizzare il grafico della funzione e vedere se una qualsiasi retta parallela all'asse x interseca al più una volta la linea di funzione...
nel senso, si potrebbe usare la definizione di funzione secondo cui $f(x1) = f(x2)$ => $x1 = x2$
per esempio, se ho la funzione $f(x) = 2^x$
al di là del fatto che sia ovvio che questa funzione è iniettiva, posso stabilirlo con sicurezza se, supponendo che $2^(x1) = 2^(x2)$ allora per forza x1 = x2 perché il risultato di 2 elevato a due esponenti distinti è il medesimo solo se i due esponenti sono uguali... ma lo deduco per logica, col ragionamento!
Ma c'è un modo per stabirlo matematicamente senza dover ragionare logicamente?
Risposte
mmmmh...
aiuto, forse sono ancora un po' indietro col programma xD
Io ho provato così:
Se per esempio ho la funzione $f(x)= x^2$
posso dimostrare se la funzione è iniettiva o meno a partire dall'equazione $y = f(x)$
cioè se l'equazione $y=f(x)$ per un qualsiasi valore di y ha una solo soluzione, è ovvio che la funzione è iniettiva, cioè un elemento del codominio Y ha un unico corrispondente nel dominio X.
se Invece l'equazione mi da più di una soluzione distinta, vuol dire che non è iniettiva...
Se ad esempio prendo Y = 1
Da $y=f(x)$ ho che $1= x^2$ cioè x = + o - 1, quindi $1=f(1)$ ma anche $1=f(-1)$ quindi funzione non iniettiva.
Invece, prendendo l'esempio di prima $f(x) = 2^x$
da $ y = 2^x$ prendendo y=1, avrò che
$1 = 2^x$, cioè che x = Log base 2 di 1, cioè x = 0, un'unica soluzione, quindi funzione iniettiva...
il procedimento mi pare non faccia una piega... il problema è tale procedimento vale per qualunque y? Nel senso, in questo caso ho supposto y=1, ma se avessi supposto ad esempio y=3 avrei comunque ottenuto un'unica soluzione nel secondo esempio e due soluzioni nel primo?
E tale procedimento è idoneo per qualunque tipo di funzione (che non espliciti condizioni particolari), o solo per alcune e non per altre?
aiuto, forse sono ancora un po' indietro col programma xD
Io ho provato così:
Se per esempio ho la funzione $f(x)= x^2$
posso dimostrare se la funzione è iniettiva o meno a partire dall'equazione $y = f(x)$
cioè se l'equazione $y=f(x)$ per un qualsiasi valore di y ha una solo soluzione, è ovvio che la funzione è iniettiva, cioè un elemento del codominio Y ha un unico corrispondente nel dominio X.
se Invece l'equazione mi da più di una soluzione distinta, vuol dire che non è iniettiva...
Se ad esempio prendo Y = 1
Da $y=f(x)$ ho che $1= x^2$ cioè x = + o - 1, quindi $1=f(1)$ ma anche $1=f(-1)$ quindi funzione non iniettiva.
Invece, prendendo l'esempio di prima $f(x) = 2^x$
da $ y = 2^x$ prendendo y=1, avrò che
$1 = 2^x$, cioè che x = Log base 2 di 1, cioè x = 0, un'unica soluzione, quindi funzione iniettiva...
il procedimento mi pare non faccia una piega... il problema è tale procedimento vale per qualunque y? Nel senso, in questo caso ho supposto y=1, ma se avessi supposto ad esempio y=3 avrei comunque ottenuto un'unica soluzione nel secondo esempio e due soluzioni nel primo?
E tale procedimento è idoneo per qualunque tipo di funzione (che non espliciti condizioni particolari), o solo per alcune e non per altre?
"shinji":
Ma c'è un modo per stabirlo matematicamente senza dover ragionare logicamente?
Come si fa la Matematica senza ragionare logicamente?
"WiZaRd":
[quote="shinji"]
Ma c'è un modo per stabirlo matematicamente senza dover ragionare logicamente?
Come si fa la Matematica senza ragionare logicamente?
[/quote]Con la calcolatrice. Per esempio, sulla mia calcolatrice risulta che $2^0=1$ e che $2^(0,000 000 000 1)=1$, quindi $2^x$ non è iniettiva....
"Sidereus":
Con la calcolatrice. Per esempio, sulla mia calcolatrice risulta che $2^0=1$ e che $2^(0,000 000 000 1)=1$, quindi $2^x$ non è iniettiva....
Spiritoso!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo