Stabilire se un insieme è contraibile
Ciao a tutti, volevo chiedervi dei chiarimenti su come si stabilisce se un insieme è contraibile o no. Vi scrivo degli esempi
i) $A = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2}+y^{2} \ne 0}$ in $\mathbb{R}^{3}$
ii) $B = {x \in \mathbb{R}^{n} : log(1+|x|) \ge |x|/2}$ in $\mathbb{R}^{n}$ con $n \ge 1$
iii) $C = {(x+y, xy)\in \mathbb{R}^{n} : x^{2}+y^{2} \le 1}$ in $\mathbb{R}^{2}$
So che il modo più veloce per vedere se sono contraibili è cercare dei "buchi" guardando il dominio, ma in questi esempi non è così banale e comunque non penso che al professore vada bene. Non saprei come svolgerli in modo formale, perchè non ho mai visto esercizi del genere svolti in classe.
Grazie a tutti per l'aiuto.
i) $A = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2}+y^{2} \ne 0}$ in $\mathbb{R}^{3}$
ii) $B = {x \in \mathbb{R}^{n} : log(1+|x|) \ge |x|/2}$ in $\mathbb{R}^{n}$ con $n \ge 1$
iii) $C = {(x+y, xy)\in \mathbb{R}^{n} : x^{2}+y^{2} \le 1}$ in $\mathbb{R}^{2}$
So che il modo più veloce per vedere se sono contraibili è cercare dei "buchi" guardando il dominio, ma in questi esempi non è così banale e comunque non penso che al professore vada bene. Non saprei come svolgerli in modo formale, perchè non ho mai visto esercizi del genere svolti in classe.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
"Contraibile" cosa significa per te? Vista la sezione, sospetto tu intenda che esiste un punto nell'insieme che si può collegare a tutti gli altri punti con un segmento:
https://en.wikipedia.org/wiki/Star_domain
Un'altra possibilità è questa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Contractible_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Star_domain
Un'altra possibilità è questa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Contractible_space
Un insieme $A \subset \mathbb{R}^{n}$ è contraibile (o semplicemente connesso) se esistono $x_{0} \in A$ e una funzione continua $h:[0;1] \times A \to A$ tale che $h(1,x) = x$ e $h(0,x) = x_{0}$ ($h$ viene chiamata omotopia di A ad un punto).
No questo da quanto ho capito io è un insieme stellato. Gli insiemi stellati sono contraibili ma non penso che valga il viceversa.
La definizione che ho scritto di insieme contraibile dovrebbe voler dire che in questi insiemi una curva chiusa può essere deformata fino a ridursi ad un singolo punto $x_{0}$. Io ho sempre verificato "a occhio" il fatto che un insieme fosse semplicemente connesso ma sempre con insiemi semplici, per esempio $\mathbb{R}^{2} \setminus {(0,0)}$ non è semplicemente connesso perchè ha un "buco" nell'origine. Non ho delle idee chiare su come procedere per studiare gli insiemi che ho scritto sopra.
"Contraibile" cosa significa per te? Vista la sezione, sospetto tu intenda che esiste un punto nell'insieme che si può collegare a tutti gli altri punti con un segmento:
https://en.wikipedia.org/wiki/Star_domain
No questo da quanto ho capito io è un insieme stellato. Gli insiemi stellati sono contraibili ma non penso che valga il viceversa.
La definizione che ho scritto di insieme contraibile dovrebbe voler dire che in questi insiemi una curva chiusa può essere deformata fino a ridursi ad un singolo punto $x_{0}$. Io ho sempre verificato "a occhio" il fatto che un insieme fosse semplicemente connesso ma sempre con insiemi semplici, per esempio $\mathbb{R}^{2} \setminus {(0,0)}$ non è semplicemente connesso perchè ha un "buco" nell'origine. Non ho delle idee chiare su come procedere per studiare gli insiemi che ho scritto sopra.
Ciao
vorrei provare a entrare nella discussione anche se ne so proprio poco (confido nelle correzioni di dissonance), provo anche io a vedere come stanno le cose by eye
Nel primo caso dall'intero spazio $R^3$ dobbiamo togliere l'asse $z$, giusto?
vorrei provare a entrare nella discussione anche se ne so proprio poco (confido nelle correzioni di dissonance), provo anche io a vedere come stanno le cose by eye
Nel primo caso dall'intero spazio $R^3$ dobbiamo togliere l'asse $z$, giusto?
Ciao gio73. Visto che hai deciso di lavorare ai fianchi il primo insieme, io mi lavoro il terzo e ti prometto che lo butto giù con un jab, il mio colpo preferito (a proposito, ne ha stesi più lui che una mandria di bisonti 
), entro la fine della prima ripresa. Intanto:
$C=\{(x+y,xy) in RR^2: [x^2+y^2 lt= 1]}$
$barC=\{(x,y) in RR^2: [y gt= 1/2x^2-1/2] ^^ [y lt= 1/2]}$
sono lo stesso insieme. Insomma, ho solo cercato di "decodificare" la prima scrittura. Meglio di niente e, soprattutto, meglio se ti sinceri che il jab sia andato a segno , non abbia scritto una sciocchezza per intenderci. 
Una volta "decodificato", $C$ dovrebbe rientrare tra gli esempi banali di insieme semplicemente connesso di cui presumibilmente parli:
Insomma, non escludo che lo scopo dell'esercizio fosse solo quello di valutare le competenze necessarie alla "decodifica" medesima. Ad ogni modo, scusa l'atmosfera un po' goliardica ma io e gio73 siamo vecchi amici. Tuttavia, non disperare. Vedrai che, anche con l'aiuto dei matematici, riuscirai a venir fuori dignitosamente da questa brutta bega.
), entro la fine della prima ripresa. Intanto:$C=\{(x+y,xy) in RR^2: [x^2+y^2 lt= 1]}$
$barC=\{(x,y) in RR^2: [y gt= 1/2x^2-1/2] ^^ [y lt= 1/2]}$
sono lo stesso insieme. Insomma, ho solo cercato di "decodificare" la prima scrittura. Meglio di niente e, soprattutto, meglio se ti sinceri che il jab sia andato a segno
, non abbia scritto una sciocchezza per intenderci. "Borto":
So che il modo più veloce per vedere se sono contraibili è cercare dei "buchi" guardando il dominio, ma in questi esempi non è così banale e comunque non penso che al professore vada bene.
Una volta "decodificato", $C$ dovrebbe rientrare tra gli esempi banali di insieme semplicemente connesso di cui presumibilmente parli:
Insomma, non escludo che lo scopo dell'esercizio fosse solo quello di valutare le competenze necessarie alla "decodifica" medesima. Ad ogni modo, scusa l'atmosfera un po' goliardica ma io e gio73 siamo vecchi amici. Tuttavia, non disperare. Vedrai che, anche con l'aiuto dei matematici, riuscirai a venir fuori dignitosamente da questa brutta bega.
"gio73":
... confido nelle correzioni di dissonance ...
Mi date troppa autorità! E nel pugilato sono una schiappa. Perciò pure io farò lo stesso, affidandomi all'"ipse-dixit", nello specifico, a questo post di ViciousGoblin (lui si, una autorità):
viewtopic.php?p=279942#p279942
Perciò, per verificare che un insieme è semplicemente connesso (="contraibile" nella notazione dell'OP) si va a occhio, "si tira via", come dice ViciousGoblin. I tre aperti specificati qui sono rispettivamente $RR^3$ meno un asse (come dice gio), una palla di $RR^n$ sotto travestimento, e quella roba disegnata da Sergeant Elias. Uno solo non è semplicemente connesso.
E nel pugilato sono una schiappa. Perciò pure io farò lo stesso, affidandomi all'"ipse-dixit", nello specifico, a questo post di ViciousGoblin (lui si, una autorità): viewtopic.php?p=279942#p279942
Perciò, per verificare che un insieme è semplicemente connesso (="contraibile" nella notazione dell'OP) si va a occhio, "si tira via", come dice ViciousGoblin. I tre aperti specificati qui sono rispettivamente $RR^3$ meno un asse (come dice gio), una palla di $RR^n$ sotto travestimento, e quella roba disegnata da Sergeant Elias. Uno solo non è semplicemente connesso.
Santo cielo no, contraibile significa che è omotopicamente equivalente al punto, semplicemente connesso è una proprietà enormemente più debole.
Non è che perché la matematica italiana non li insegna, i gruppi di omotopia superiori perdano di dignità!
Non è che perché la matematica italiana non li insegna, i gruppi di omotopia superiori perdano di dignità!
"killing_buddha":
Santo cielo no, contraibile significa che è omotopicamente equivalente al punto, semplicemente connesso è una proprietà enormemente più debole.
Non è che perché la matematica italiana non li insegna, i gruppi di omotopia superiori perdano di dignità!
Ti chiedo scusa se non ho scritto correttamente, ma il mio professore di analisi II non ha mai fatto distinzione tra semplicemente connesso e contraibile. Io riporto solo quello che ho imparato a lezione
Perciò, per verificare che un insieme è semplicemente connesso (="contraibile" nella notazione dell'OP) si va a occhio, "si tira via", come dice ViciousGoblin. I tre aperti specificati qui sono rispettivamente R3 meno un asse (come dice gio), una palla di Rn sotto travestimento, e quella roba disegnata da Sergeant Elias. Uno solo non è semplicemente connesso.
Quindi non c'è un procedimento formale che posso scrivere? Basta vedere se gli insiemi che mi sono dati possono essere ricondotti a insieme semplicemente connessi "noti"?
non escludo che lo scopo dell'esercizio fosse solo quello di valutare le competenze necessarie alla "decodifica" medesima.
Mi piacerebbe riuscire a dire di più: per esempio so anch'io che $\mathbb{R}^{3}$ senza l'asse z non è semplicemente connesso, ma lo so e basta, non saprei dimostrarlo, e non penso che al professore basti questo.
Vi ringrazio ancora una volta. Il vostro aiuto è davvero prezioso
"Borto":
Ti chiedo scusa se non ho scritto correttamente, ma il mio professore di analisi II non ha mai fatto distinzione tra semplicemente connesso e contraibile. Io riporto solo quello che ho imparato a lezione
Non era una critica a te, ma è un errore molto comune, per distrazione o cattiva educazione. Semplicemente connesso significa che ogni mappa continua $\gamma :S^1 \to X$ ammette una estensione a una mappa definita sul disco $\overline\gamma : D^2 \to X$; contraibile significa che questo avviene per tutte le sfere $S^n$ e tutti i dischi $D^{n+1}$.
Far insegnare topologia algebrica agli analisti è sempliemente un'offesa al decoro.
[quote]Perciò, per verificare che un insieme è semplicemente connesso (="contraibile" nella notazione dell'OP) si va a occhio, "si tira via", come dice ViciousGoblin. I tre aperti specificati qui sono rispettivamente R3 meno un asse (come dice gio), una palla di Rn sotto travestimento, e quella roba disegnata da Sergeant Elias. Uno solo non è semplicemente connesso.
Quindi non c'è un procedimento formale che posso scrivere? Basta vedere se gli insiemi che mi sono dati possono essere ricondotti a insieme semplicemente connessi "noti"?[/quote]
Questa è la tecnica standard: la topologia algebrica pare difficile all'inizio proprio perché manca un modo formale di operare e funziona tutto in modo abbastanza tattile. Le tecniche di base però sono sempre le stesse, e soprattutto, qualsiasi conto che è possibile fare, si può fare con Van Kampen o sfruttando l'invarianza per omotopia del gruppo fondamentale (il fatto, cioè, che esiste un'equivalenza omotopica verso uno spazio semplicemente connesso). Un altro risultato molto potente e a costo zero (perché la dimostrazione è semplicissima e senza tecnologia) serve a generare equivalenze omotopiche: se uno spazio $X$ ammette una decomposizione in celle, e \(q : X \to X/S\) è la proiezione verso il quoziente di $X$ per un sotto-complesso contraibile, allora $q$ è un'equivalenza omotopica.
Mi piacerebbe riuscire a dire di più: per esempio so anch'io che $\mathbb{R}^{3}$ senza l'asse z è semplicemente connesso, ma lo so e basta, non saprei dimostrarlo, e non penso che al professore basti questo.
E' falso. Chiamo $X$ lo spazio "$\mathbb R^3$ meno l'asse $z$" per brevità. Secondo l'Esercizio 1.2.(2) qui, $X \cong (\mathbb R^2 \setminus \{0\})\times \mathbb R$ ha come retratto di deformazione $S^1\times \mathbb R$, ovvero un cilindro (infinito). Questo spazio ha a sua volta $S^1$ come retratto di deformazione (perché $\mathbb R$ è contraibile), ed $S^1$ non è semplicemente connesso (perché $\pi_1(S^1,x_0)\cong \mathbb Z$, oppure perché non esiste nessun modo di estendere l'identità $S^1\to S^1$ ad una mappa $r : D^2\to S^1$ —questo è equivalente a violare il teorema di Brouwer, perché una tale estensione dà una mappa $D^2 \to D^2$ senza punti fissi, esattamente quella che manda $x\in D^2$ in \(\frac{x-r(x)}{2}\)—)
In generale, $\mathbb R^n$ meno un iperpiano di dimensione $d \le n-2$ non si riesce a sconnettere; se togli un iperpiano di dimensione $n-1$ lo sconnetti.
E' falso.
Ovviamente, ho sbagliato a scrivere.
C'era scritto anche sopraComunque non riesco a seguirti bene, perchè io ho fatto solo un corso di Analisi II del primo anno... ma se sono richeste quelle nozioni per fare una buona dimostrazione sicuramente il mio professore non pretende questo
Al sergente[ot]
Ciao Sergente
come fai a sapere che dall'anno scorso ho cominciato boxe?[/ot]
"anonymous_0b37e9":
Ciao gio73. Visto che hai deciso di lavorare ai fianchi il primo insieme, io mi lavoro il terzo e ti prometto che lo butto giù con un jab, il mio colpo preferito (a proposito, ne ha stesi più lui che una mandria di bisonti
Ciao Sergente
come fai a sapere che dall'anno scorso ho cominciato boxe?[/ot]
@ gio73
[ot]
Veramente, non ne sapevo nulla. Tra l'altro, stavo solo scherzando. Non sono mai salito su un ring. Ma guarda che coincidenza![/ot]
[ot]
"gio73":
... come fai a sapere che dall'anno scorso ho cominciato boxe?
Veramente, non ne sapevo nulla. Tra l'altro, stavo solo scherzando. Non sono mai salito su un ring. Ma guarda che coincidenza!
[/ot]
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