Stabilire se l'integrale è finito o infinito

[nicolae1]

ciao ragazzi,
devo capire se il seguente integrale è finito o infinito, mi date una mano:

$int_(-oo)^(1) 1_((-1,+oo))*1/((x-sinx)^(1/5)) dx $, dove "$1_((-1,+oo))$" è la funzione indicatrice

io l'ho pensato cosi:
l'integrale è uguale a zero al di fuori della funzione indicatrice per cui sarebbe come calcolare l'integrale di
$int_(-1)^(1) 1/((x-sinx)^(1/5)) dx $
è una cavolata?

alchè ho proseguito coi calcoli:
tale integrale ha problemi a 0:
$lim_(x -> 0_(-)^(+)) 1/((x-sinx)^(1/5))=_(-)^(+)oo$
che rende l'integrale infinito.
è giusto?

[ciampax]

Il primo punto è corretto. Per quanto riguarda il resto, è vero che in $x=0$ la funzione presenta una discontinuità di seconda specie, ma ciò non vuol dire necessariamente che non sia integrabile. Infatti, analizzando il comportamento della funzione, si perviene a scrivere (usando gli sviluppi di Taylor) che in un intorno dell'origine
$$\frac{1}{(x-\sin x)^{1/5}}\sim\frac{1}{x^{3/5}/6^{1/5}}=\frac{\sqrt[5]{6}}{x^{3/5}}$$
e dal momento che tale funzione è integrabile in $x=0$ (fai la prova) anche la funzione di partenza risulta tale.

[nicolae1]

grazie mille!