Stabilire se l'integrale è convergente
Salve!!! Devo stabilire se il seguente integrale è convergente:
\( \int_{0}^{1}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} dx}\) Innanzitutto vedo che il dominio è \(x\not= 0\)
dunque scrivo il limite:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}}\)
poichè per x che tende a 0, senx tende a x, posso scrivere:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\)
Che diventa
\(\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{x^{-1}}}{\sqrt[5]{x}}}\)
\(\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}x^{-1}}}\) e infine \(\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^{-\frac{4}{5}}}}\)
e poichè \(-\frac{4}{5}\leq 1\) l'integrale diverge!! E' corretto?
Volevo chiedere un'altra cosa indipendentemente dal risultato... Ho un po di confusione per quanto riguarda la simbologia da usare quando per esempio passo da senx a x e anche sul "quando" passarci, cioè in quale passaggio. Per esempio in questo esercizio abbiamo visto che sen x tende ad x e ci siamo. Ma quando devo scrivere x al posto di senx? Mi spiego meglio:
\( \int_{0}^{1}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} dx}\) posso scrivere \( \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}} dx}\)?
Oppure (come credo) la x posso scriverla solo quando passo al limite:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\)?
E poi per i simboli? cioè:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}}\) lo scrivo come \(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\) ma tra i due limiti, che simbolo ci metto??? Grazie mille a tutti per la pazienza!!!!!!!!
\( \int_{0}^{1}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} dx}\) Innanzitutto vedo che il dominio è \(x\not= 0\)
dunque scrivo il limite:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}}\)
poichè per x che tende a 0, senx tende a x, posso scrivere:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\)
Che diventa
\(\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{x^{-1}}}{\sqrt[5]{x}}}\)
\(\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}x^{-1}}}\) e infine \(\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^{-\frac{4}{5}}}}\)
e poichè \(-\frac{4}{5}\leq 1\) l'integrale diverge!! E' corretto?
Volevo chiedere un'altra cosa indipendentemente dal risultato... Ho un po di confusione per quanto riguarda la simbologia da usare quando per esempio passo da senx a x e anche sul "quando" passarci, cioè in quale passaggio. Per esempio in questo esercizio abbiamo visto che sen x tende ad x e ci siamo. Ma quando devo scrivere x al posto di senx? Mi spiego meglio:
\( \int_{0}^{1}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} dx}\) posso scrivere \( \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}} dx}\)?
Oppure (come credo) la x posso scriverla solo quando passo al limite:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\)?
E poi per i simboli? cioè:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}}\) lo scrivo come \(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\) ma tra i due limiti, che simbolo ci metto??? Grazie mille a tutti per la pazienza!!!!!!!!
Risposte
"steppox":
... l'integrale diverge!! E' corretto?
Si
"steppox":
Volevo chiedere un'altra cosa indipendentemente dal risultato... Ho un po di confusione per quanto riguarda la simbologia da usare quando per esempio passo da senx a x e anche sul "quando" passarci, cioè in quale passaggio. Per esempio in questo esercizio abbiamo visto che sen x tende ad x e ci siamo. Ma quando devo scrivere x al posto di senx? Mi spiego meglio:
\( \int_{0}^{1}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} dx}\) posso scrivere \( \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}} dx}\)?
Oppure (come credo) la x posso scriverla solo quando passo al limite:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\)?
E poi per i simboli? cioè:
\(\lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}}\) lo scrivo come \(\lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}}\) ma tra i due limiti, che simbolo ci metto??? Grazie mille a tutti per la pazienza!!!!!!!!
La $x$ la scrivi SOLO quando passi al limite. Per quanto riguarda i simboli, solitamente si utilizzano queste notazioni:
$$ \lim_{x\to 0}{\frac{senx}{\sqrt[5]{x}}} = \lim_{x\to 0}{\frac{x}{\sqrt[5]{x}}} $$ oppure
$$\frac{senx}{\sqrt[5]{x}} \substack{\sim \\ x \to 0} \frac{x}{\sqrt[5]{x}} = 1/x^{-4/5} $$
Faccio notare che $(1)/(x^(-4/5))=x^(4/5)\le1,\ x\in[0,1]$.
Una funzione integranda come questa, limitata in un intervallo limitato, potrà mai far divergere l'integrale ?
Una funzione integranda come questa, limitata in un intervallo limitato, potrà mai far divergere l'integrale ?
"Quinzio":
Faccio notare che $(1)/(x^(-4/5))=x^(4/5)\le1,\ x\in[0,1]$.
Una funzione integranda come questa, limitata in un intervallo limitato, potrà mai far divergere l'integrale ?
Ops...mi è sfuggito quel meno!
"Quinzio":
Faccio notare che $(1)/(x^(-4/5))=x^(4/5)\le1,\ x\in[0,1]$.
Una funzione integranda come questa, limitata in un intervallo limitato, potrà mai far divergere l'integrale ?
Devo ammettere che mi manca un pò di dmestichezza.... ma in questo caso come procedo?
Raga allora??? Nessun aiuto?? Grazie!!!
Maddai.. vuoi dirmi che non sai stabilire se \( \displaystyle \int_0^1 x^{\frac{4}{5}}dx \) è finito o no? E nel primo caso non sei forse in grado di calcolarlo (praticamente ad occhi chiusi?). 
"Paolo90":
Maddai.. vuoi dirmi che non sai stabilire se \( \displaystyle \int_0^1 x^{\frac{4}{5}}dx \) è finito o no? E nel primo caso non sei forse in grado di calcolarlo (praticamente ad occhi chiusi?).
Beh l'integrale è finito.... e calcolandolo viene $ 5/9 $... Il problema è che mi manca un pò di teoria... Quindi giunto a questo da cosa deduco il carattere dell'integrale?? Mi spiego: prima l'avevo confrontato con l'integrale di paragone $1/|x|^a$... ma adesso? Scusate se la domanda è banale
Raga scrivo quì per non aprire un altro topic simile... Spero non venga considerata un'uppata da parte dei moderatori (anzi datemi delucidazioni in merito). Devo stabilire il carattere di un'altro integrale:
\(\int_{1}^{+\infty}{sen(\frac{1}{x^4})}dx\)
Il dominio è tutto R escluso 0
Dunque scrivo il limite:
\(\lim_{x\to +\infty}{sen(\frac{1}{x^4})}=sen(\frac{1}{+\infty})=sen0=0\)
Quindi? Quello che ho scritto serve a qualcosa ai fini dell'esercizio oppure è inutile??? Grazie a tutti!!
\(\int_{1}^{+\infty}{sen(\frac{1}{x^4})}dx\)
Il dominio è tutto R escluso 0
Dunque scrivo il limite:
\(\lim_{x\to +\infty}{sen(\frac{1}{x^4})}=sen(\frac{1}{+\infty})=sen0=0\)
Quindi? Quello che ho scritto serve a qualcosa ai fini dell'esercizio oppure è inutile??? Grazie a tutti!!
Io credo che tu abbia le idee parecchio confuse in materia di integrali e di integrali impropri. Conosci la teoria? L'hai letta e studiata? Se non è così devi necessariamente ripartire da lì, altrimenti stai solo perdendo tempo.
"steppox":
\(\lim_{x\to +\infty}{sen(\frac{1}{x^4})}=sen(\frac{1}{+\infty})=sen0=0\)
Quindi? Quello che ho scritto serve a qualcosa ai fini dell'esercizio oppure è inutile??? Grazie a tutti!!
Quello che hai scritto non ha senso. I limiti non si fanno sostituendo il valore a cui tende la variabile.
Ragiona con calma.
Per $x\to +oo$ l'argomento del seno tende a $0$, quindi:
$sen(\frac{1}{x^4}) ~ 1/x^4$. Ora confrontando con $1/|x|^a$ deduci che.....
Mi accodo al consiglio di Paolo90
\( 1-cos(e^{-5x}) \sim \frac{(e^{-5x})^2}{2} \)
Quello che hai scritto non ha senso. I limiti non si fanno sostituendo il valore a cui tende la variabile.
Ragiona con calma.
Per $x\to +oo$ l'argomento del seno tende a $0$, quindi:
$sen(\frac{1}{x^4}) ~ 1/x^4$. Ora confrontando con $1/|x|^a$ deduci che.....
Mi accodo al consiglio di Paolo90[/quote]
Il consiglio di paolo è sacrosanto!!!! Purtroppo ci sono problemi di tempistica dunque il mio è un tentativo "o la va o la spacca"!!! Per l'esercizio hai ragione mi era sfuggito che \(senf(x)\sim f(x)\) quando \(f(x) \rightarrow 0\) e non quando \(x \rightarrow 0\)
Già che ci siamo vorrei chiedere per un'altro esercizio:
\( \int_{1}^{+\infty}{1-cos(e^{-5x})}dx\)
Il dominio della funzione è tutto R. Scrivo il limite:
\(\lim_{x \to +\infty}{1-cos(e^{-5x})}\)
Ho notato (stavolta) che \(e^{-5x}\rightarrow 0\) dunque \(1-cos(e^{-5x}) \sim \frac{(e^{-5x})^2}{2}\)
Potrei scrivere:
\(\frac{1}{2e^{10x}}\) e poi......?
"Lory314":
[quote="steppox"]
\(\lim_{x\to + \infty}{sen(\frac{1}{x^4})}=sen(\frac{1}{+\infty})=sen0=0\)
Quindi? Quello che ho scritto serve a qualcosa ai fini dell'esercizio oppure è inutile??? Grazie a tutti!!
Quello che hai scritto non ha senso. I limiti non si fanno sostituendo il valore a cui tende la variabile.
Ragiona con calma.
Per $x\to +oo$ l'argomento del seno tende a $0$, quindi:
$sen(\frac{1}{x^4}) ~ 1/x^4$. Ora confrontando con $1/|x|^a$ deduci che.....
Mi accodo al consiglio di Paolo90[/quote]
Il consiglio di paolo è sacrosanto!!!! Purtroppo ci sono problemi di tempistica dunque il mio è un tentativo "o la va o la spacca"!!!
Per l'esercizio hai ragione mi era sfuggito che \(senf(x)\sim f(x)\) quando \(f(x) \rightarrow 0\) e non quando \(x \rightarrow 0\)Già che ci siamo vorrei chiedere per un'altro esercizio:
\( \int_{1}^{+\infty}{1-cos(e^{-5x})}dx\)
Il dominio della funzione è tutto R. Scrivo il limite:
\(\lim_{x \to +\infty}{1-cos(e^{-5x})}\)
Ho notato (stavolta) che \(e^{-5x}\rightarrow 0\) dunque \(1-cos(e^{-5x}) \sim \frac{(e^{-5x})^2}{2}\)
Potrei scrivere:
\(\frac{1}{2e^{10x}}\) e poi......?
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