Stabilire se l'equazone ammette soluzioni(studio di funzione)
Ciao a tutti.
Non mi è ben chiaro come procedere.. l'esercizio chiede di stabilire se l'equazione ammette soluzioni.
x^(1/4)= ln x
Devo procedere graficamente?
Grazie.
Non mi è ben chiaro come procedere.. l'esercizio chiede di stabilire se l'equazione ammette soluzioni.
x^(1/4)= ln x
Devo procedere graficamente?
Grazie.
Risposte
$(1)^(1/4)=1\ \ \ >\ \ \ ln(1)=0$
$(e^2)^(1/4)=sqrt(e)\ \ \ <\ \ \ ln(e^2)=2$
$(e^2)^(1/4)=sqrt(e)\ \ \ <\ \ \ ln(e^2)=2$
Devo dare la risposta nell'ambito dello studio di funzione. Dovevo specificarlo prima ^_^
Ciao hi93,
Benvenuto sul forum!
Sì, l'equazione $x^{1/4} = ln x $ ammette due soluzioni, ma anche procedendo graficamente o numericamente non è semplicissimo determinare quella più "lontana" dall'origine degli assi, anche se sono esprimibili per mezzo della funzione $W$ di Lambert:
$x_1 = e^{-4 W(-1/4)} ~~ 4,17708 $
$x_2 = e^{- 4 W_{-1}(-1/4)} ~~ 5503,66 $
Benvenuto sul forum!
"hi93":
l'esercizio chiede di stabilire se l'equazione ammette soluzioni.
Sì, l'equazione $x^{1/4} = ln x $ ammette due soluzioni, ma anche procedendo graficamente o numericamente non è semplicissimo determinare quella più "lontana" dall'origine degli assi, anche se sono esprimibili per mezzo della funzione $W$ di Lambert:
$x_1 = e^{-4 W(-1/4)} ~~ 4,17708 $
$x_2 = e^{- 4 W_{-1}(-1/4)} ~~ 5503,66 $
Forse ho trovato la soluzione. Applicando il teorema degli zeri( teorema di Bolzano) dovrei essere in grado di stabilire se esiste almeno uno zero. Domani mattina provo a lavorarci un po' e mi guardo anche questa funzione di Lambert che proprio non conosco. Intanto grazie per le risposte. Eventualmente posterò la possibile soluzione.
Ma lasciala stare la $W$ di Lambert, lo scopo dell'esercizio non è quello. Sicuramente pilloeffe l'ha nominata a titolo informativo per mostrare che effettivamente ne esistono 2, ma in un esercizio così l'unica cosa da fare è calcolare la derivata, che è $f'=\frac{x^(1/4)-4}{4x}$, notare che dal minimo ottenuto per $x=256$ in poi la funzione è crescente (e ovviamente sempre continua) e dunque dovrà esistere, per il thm. degli zeri, un altro zero, oltre a quello individuato inizialmente sempre col thm degli zeri.
Per trovarli esplicitamente si può usare il metodo di Newton. Per trovare il primo si può prendere come dato iniziale $x_0=1$, per il secondo sono riuscito a trovarlo con $x_0=500$.
Per trovarli esplicitamente si può usare il metodo di Newton. Per trovare il primo si può prendere come dato iniziale $x_0=1$, per il secondo sono riuscito a trovarlo con $x_0=500$.
Alla fine ho fatto cosi.
f(x)=x^(1/4) - ln (x)
. x^(1/4) Dominio= [0,+inf)
continua su [0,+inf)
derivabile su (0,+inf)
. ln(x) dominio =(0.+inf)
continua e derivabile su (0,+inf)
La differenza di funzioni continue rimane continua.
Il Teorema degli Zeri dice che se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto, cioè se
f(a)f(b)<0
Allora la funzione amette[highlight]ALMENO UNO[/highlight] zero nell'intervallo [a,b], cioè se esiste c appartenente ad [a,b] :
f(c)=0
Individuo un intervallo chiuso contenuto nell'intervallo di continuità della funzione , ad esempio
I=[1,16]
e cerco la discordanza dei segni nella valutazione della funzione agli estremi dell'intervallo.
f(1)= 1^(1/4) - ln 1 = 1
f(16)=2- ln 16 =-0,77 (circa)
Quindi l'equazione ammette almeno una soluzione.
Secondo voi può andare ?
f(x)=x^(1/4) - ln (x)
. x^(1/4) Dominio= [0,+inf)
continua su [0,+inf)
derivabile su (0,+inf)
. ln(x) dominio =(0.+inf)
continua e derivabile su (0,+inf)
La differenza di funzioni continue rimane continua.
Il Teorema degli Zeri dice che se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto, cioè se
f(a)f(b)<0
Allora la funzione amette[highlight]ALMENO UNO[/highlight] zero nell'intervallo [a,b], cioè se esiste c appartenente ad [a,b] :
f(c)=0
Individuo un intervallo chiuso contenuto nell'intervallo di continuità della funzione , ad esempio
I=[1,16]
e cerco la discordanza dei segni nella valutazione della funzione agli estremi dell'intervallo.
f(1)= 1^(1/4) - ln 1 = 1
f(16)=2- ln 16 =-0,77 (circa)
Quindi l'equazione ammette almeno una soluzione.
Secondo voi può andare ?
E io cosa ho fatto nel primo post?
È una battuta …
È una battuta …
Usa il simbolo di dollaro per scrivere le [formule][/formule]
Ovviamente non ci va quel "se".
L'approccio va bene, ora volendo puoi anche mostrare che lo zero in quell'intervallo è unico, visto che la funzione è monotòna in quell'intervallo
"hi96":
Allora la funzione amette ALMENO UNO zero nell'intervallo [a,b], cioè se esiste c appartenente ad [a,b]
Ovviamente non ci va quel "se".
L'approccio va bene, ora volendo puoi anche mostrare che lo zero in quell'intervallo è unico, visto che la funzione è monotòna in quell'intervallo
"axpgn":
E io cosa ho fatto nel primo post?
È una battuta …
Simboli a caso per quanto ne sapevo ieri
"feddy":
Usa il simbolo di dollaro per scrivere le [formule][/formule]
[quote="hi96"]Allora la funzione amette ALMENO UNO zero nell'intervallo [a,b], cioè se esiste c appartenente ad [a,b]
Ovviamente non ci va quel "se".
L'approccio va bene, ora volendo puoi anche mostrare che lo zero in quell'intervallo è unico, visto che la funzione è monotòna in quell'intervallo[/quote]
ok userò il dollaro
Quindi mostrando che è monotona decrescente deduco che lo zero è unico nell'intervallo?
Beh certo, se ti fai un disegno lo vedi banalmente...
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