Stabilire se la funzione è prolungabile per continuità in X0=0
Buongiorno, ho alcuni dubbi nel risolvere questo esercizio.
Stabilire se la seguente funzione è prolungabile con continuità in x0=0
$ { ( (e^(2x)-1)/(2x) rarr x>0 ),( 2x+2rarr x<0 ):} $
Io ho provato a risolverlo così:
-$ lim_(x -> 0^+) (e^(2x)-1)/(2x) $ con f(0)=0
-$ lim_(x -> 0^-) (2x+2)=2 $ con f(0)=2
Siccome nella prima funzione $ lim_(x -> 0^+) (e^(2x)-1)/(2x) != f(0) $ la funzione non è prolungabile per continuità.
Ma penso di aver fatto un gran casino. Grazie mille in anticipo!
Stabilire se la seguente funzione è prolungabile con continuità in x0=0
$ { ( (e^(2x)-1)/(2x) rarr x>0 ),( 2x+2rarr x<0 ):} $
Io ho provato a risolverlo così:
-$ lim_(x -> 0^+) (e^(2x)-1)/(2x) $ con f(0)=0
-$ lim_(x -> 0^-) (2x+2)=2 $ con f(0)=2
Siccome nella prima funzione $ lim_(x -> 0^+) (e^(2x)-1)/(2x) != f(0) $ la funzione non è prolungabile per continuità.
Ma penso di aver fatto un gran casino. Grazie mille in anticipo!
Risposte
Il primo limite fa $1$, il secondo fa $2$, c'è quindi un salto e la funzione non è prolungabile.
Puoi estendere la tua funzione per continuità se risulta
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} f(x)=f({x_0}^-)=f({x_0}^+)= \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} f(x) \neq f(x_0)
\)
Ovvero: avvicinandoti al punto da destra e da sinistra ottieni lo stesso valore (finito) che è diverso dal valore che assumerebbe la funzione in quel punto (magari perché escluso dal campo di esistenza).
Veniamo al tuo caso: il secondo limite non presenta particolari problemi; vediamo che si può fare con il primo:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {{e^{2x}-1}\over{2x}} \rightarrow {0 \over 0 }
\) forma indeterminata...bisogna lavorare sul limite! In particolare:
\(\displaystyle e^{2x}-1= ({e^x} -1)({e^x}+1)
\) da cui:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {{e^{2x}-1}\over{2x}} = \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {({e^x}+1)\over{2}} \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {({e^x} -1)\over{x}} = 1 \neq \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} {2x+2}=2
\)
La tua funzione fa un salto in x=0, discontinuità di prima specie (poi per il nome della discontinuità consulta il tuo docente...)
Ciao
Loc
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} f(x)=f({x_0}^-)=f({x_0}^+)= \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} f(x) \neq f(x_0)
\)
Ovvero: avvicinandoti al punto da destra e da sinistra ottieni lo stesso valore (finito) che è diverso dal valore che assumerebbe la funzione in quel punto (magari perché escluso dal campo di esistenza).
Veniamo al tuo caso: il secondo limite non presenta particolari problemi; vediamo che si può fare con il primo:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {{e^{2x}-1}\over{2x}} \rightarrow {0 \over 0 }
\) forma indeterminata...bisogna lavorare sul limite! In particolare:
\(\displaystyle e^{2x}-1= ({e^x} -1)({e^x}+1)
\) da cui:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {{e^{2x}-1}\over{2x}} = \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {({e^x}+1)\over{2}} \lim_{x \rightarrow {x_0}^+} {({e^x} -1)\over{x}} = 1 \neq \lim_{x \rightarrow {x_0}^-} {2x+2}=2
\)
La tua funzione fa un salto in x=0, discontinuità di prima specie (poi per il nome della discontinuità consulta il tuo docente...)
Ciao
Loc
Poi mi vine chiesto se la funzione così prolungata è derivabile in x0=0. In questo caso devo fare il limite sx e dx rapporto incrementale per determinarlo o siccome è discontinua non è derivabile?
Siccome è discontinua, non è derivabile, perché se fosse derivabile allora per un teorema sarebbe anche continua.
Grazie mille!!
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