Stabilire se i seguenti integrali convergono
Salve a tutti,
ecco gli integrali:
1)$int_0^infty 1/(1+x^2+x^4)dx$
Per risolverlo ne faccio il limite per $x to infty$ di $(1/(1+x^2+x^4))/(1/x^4)$ il risultato è 1 e visto che $1/x^4$ converge anche l'altro integrale converge.
2)$int_1^infty 1/x sin(log(1+1/x))dx$
Per questo ho qualche problema...allora provo a fare il limite per $x to infty$ della funzione e lo confronto con $1/x$,il tutto risulta quindi
$lim_{x to infty}sin(log(1+1/x))$ perchè il primo $1/x$ si semplifica con quello che ho usato per il confronto.
Il risultato di quello che rimane è 0 ma il problema è che io ho letto tra i miei appunti che come condizione da imporre nel caso in cui utilizzi per il confronto una funzione divergente($1/x$) che il risultato del limite del confronto debba essere un numero reale diverso da zero...come faccio?
3)$int_1^infty 1/x(1-arctanx) dx$.
Anche questa volta faccio il limite per $x to infty$ e rimane solo $(1-arctanx)$.
Se non mi sbaglio l'arcotangente per l'argomento che tende ad infinito vale $\pi/2$.
Di conseguenza l'integrale diverge perchè $1/x$ diverge.
Quanti errori ho fatto:)? grazie...
ecco gli integrali:
1)$int_0^infty 1/(1+x^2+x^4)dx$
Per risolverlo ne faccio il limite per $x to infty$ di $(1/(1+x^2+x^4))/(1/x^4)$ il risultato è 1 e visto che $1/x^4$ converge anche l'altro integrale converge.
2)$int_1^infty 1/x sin(log(1+1/x))dx$
Per questo ho qualche problema...allora provo a fare il limite per $x to infty$ della funzione e lo confronto con $1/x$,il tutto risulta quindi
$lim_{x to infty}sin(log(1+1/x))$ perchè il primo $1/x$ si semplifica con quello che ho usato per il confronto.
Il risultato di quello che rimane è 0 ma il problema è che io ho letto tra i miei appunti che come condizione da imporre nel caso in cui utilizzi per il confronto una funzione divergente($1/x$) che il risultato del limite del confronto debba essere un numero reale diverso da zero...come faccio?
3)$int_1^infty 1/x(1-arctanx) dx$.
Anche questa volta faccio il limite per $x to infty$ e rimane solo $(1-arctanx)$.
Se non mi sbaglio l'arcotangente per l'argomento che tende ad infinito vale $\pi/2$.
Di conseguenza l'integrale diverge perchè $1/x$ diverge.
Quanti errori ho fatto:)? grazie...
Risposte
Il primo è corretto.
Sul secondo devi applicare lo sviluppo di Taylor ad log, e poi lo puoi applicare anche al seno.
Nel terzo non capisco cosa intendi con:
Comunque come hai detto tu, l' arctg assume quel valore, quindi rimane solo $1/x$ che diverge.
Sul secondo devi applicare lo sviluppo di Taylor ad log, e poi lo puoi applicare anche al seno.
Nel terzo non capisco cosa intendi con:
Anche questa volta faccio il limite per $x→∞$ e rimane solo (1-arctanx).
Comunque come hai detto tu, l' arctg assume quel valore, quindi rimane solo $1/x$ che diverge.
"matteomors":
2)$f(x)=int_1^infty 1/x sin(log(1+1/x))dx$
Va bene così?
Utilizzo gli sviluppi di taylor e approssimo $log(1+1/x)=1/x$ quindi diventa $1/xsen(1/x)$ e approssimo il seno a $1/x$ .
Quindi rimane $1/x^2$ a questo punto lo confronto con una nuova funzione $g(x)=1/x^2$.
Le due funzioni si semplificano e siccome $g(x)$ converge anche $f(x)$ converge per il criterio del rapporto.
Si va bene..
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