Stabilire massimo,minimo e flesso

[Lokad]

Uno dei punti di un esercizio di esame chiedeva
"stabilire se x=0 è un punto di massimo, minimo o flesso per f(x)"
ora f(x) è la seguente:
$f(x)=-2x^2+5x-ln(1+2x)-arctan(3x)$
il cui dominio è:
$D(f(x))=]-1/2, +\infty[$

ora innanzitutto faccio la derivata:
$f'(x)=-4x+5-2/(1-2x)-3/(1+9x^2)$

Il suo dominio è R-{1/2} che, unito con il dominio della funzione di partenza si ha:
$D(f(x))=]-1/2, +\infty[-{1/2}$

Ora dato che i calcoli sono troppo laboriosi, c'è un modo, o comunque un'alternativa per scoprire di che natura sia x=0, senza dover porre la derivata prima e seconda maggiore uguale a 0 e svolgere la disequazione?

[Camillo]

Calcola la derivata seconda non è complicata ! valuta quanto vale :
$f'(0) = 0 $
$f''(0) = 4 > 0 $ quindi è punto di minimo.

[pater46]

"Lokad":
Il suo dominio è R-{1/2} che, unito con il dominio della funzione di partenza si ha:
$D(f(x))=]-1/2, +\infty[-{1/2}$

Ma già il dominio della funzione escludeva il punto $-1/2$

[Lokad]

"Camillo":Calcola la derivata seconda non è complicata ! valuta quanto vale :
$f'(0) = 0 $
$f''(0) = 4 > 0 $ quindi è punto di minimo.

Quindi se fosse stato un punto di flesso oltre al fatto di verificare che $f''(0) = 0 $ cosa avrei dovuto verificare ancora?

@pater46 si scusa, avevo scritto male la derivata mettendoci un - invece di + vicino a 2x