Stabilire l'intervallo di convergenza della serie

[Allee1]

Salve a tutti vi scrivo per un aiuto riguardante il seguente esercizio

Stabilire l'intervallo di convergenza della serie
$ sum_(n =1)^oo ((x+3)/(1+x^2)) ^n tg(1/n^2) $

Poichè si tratta di una serie di potenze ho pensato di procedere applicando il teorema di Cauchy-Hadamard in questo modo:
$ lim_(n -> oo) root(n)(|tg(1/n^2)|) $

È corretto questo modo di procedere? e in questo caso come si svolge questo limite?
Vi ringrazio anticipatamente

[IlPolloDiGödel]

Il raggio di convergenza (cioè il valore di quel limite) è 1, ma lo si vede decisamente meglio con l'altro criterio: $lim_{n->+infty} tan(1/(n+1)^2) / tan(1/n^2) = lim_{n->+infty} (1/(n+1)^2)/(1/n^2) = lim_{n->+infty} n^2//(n+1)^2 = 1$, dove nella prima uguaglianza ho usato $tan(x) ~ x$ per $x->0$, ed il resto è banale.

[Allee1]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Ma per quanto riguarda:

"IlPolloDiGödel":nella prima uguaglianza ho usato $tan(x) ~ x$ per $x->0$, ed il resto è banale.

Come hai specificato l'equivalenza asintotica $tan(x) ~ x$ vale per $x->0$ ma in questo caso caso il limite è tendente all'infinito non a zero, dunque non è errato utilizzare questo tipo di svolgimento?

[gugo82]

Posso sommessamente dire che quella assegnata NON è affatto una serie di potenze?
Ecco, l'ho detto...

[cooper1]

è vero che la n tende ad infinito, ma il tuo termine è $ 1/n^2 $ che per $ n -> + oo $ è un infinitesimo