Stabilire l'infinitesimo superiore di una funzione

[Lucrezia29]

Salve,
qualcuno potrebbe cortesemente indicarmi il procedimento e farmi un esempio simile per risolvere questo esercizio?

Sia $ alpha in $ R, la funzione

$ f(x) = sinx - 4 arctan (x/2)+ x + ax^5 $

è un infinitesimo di ordine superiore a 5 per x->0 se e solo se $ alpha $ = ?

Grazie mille a chi mi risponderà

[walre]

Mi sembra che sia un infintesimo di ordine 5 rispetto ad x in 0 $ AA alpha $

[gugo82]

Comincia ad espandere il seno e l'arcotangente con la formula di Taylor fino all'ordine \(5\), fai i raggruppamenti con le potenze e vedi cosa viene fuori.

[dan952]

Dobbiamo trovare un valore $a$ tale che:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)-4\arctan(x/2)+x+ax^5}{x^5}=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{\sin(x)-4\arctan(x/2)+x}{x^5})+a=0$$
Quindi il tutto sta nel calcolarsi $\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{\sin(x)-4\arctan(x/2)+x}{x^5})$ ma lo si fa facilmente applicando de l'Hopital un pò di volte e viene $-1/60$, in conclusione $-1/60+a=0 \Leftrightarrow a=1/60$

Edit: ho visto ora che ti aveva già risposto gugo ma ormai avevo scritto

[Lucrezia29]

Grazie per avermi aiutato.

Quindi ricapitolando devo semplicemente calcolarmi il limite con de l'Hopital oppure usare Taylor a seconda dei casi che mi ritrovo davanti giusto?

[dan952]

"_Lucrezia_":Grazie per avermi aiutato.

Quindi ricapitolando devo semplicemente calcolarmi il limite con de l'Hopital oppure usare Taylor a seconda dei casi che mi ritrovo davanti giusto?

Ma dici in generale o per quanto riguarda questo esercizio?
Generalmente per calcolare limiti "strani" si usa de l'Hopital o Taylor (se vuoi farti del male)

[gugo82]

@ dan95: Permettimi una permutazione...

"dan95":Generalmente per calcolare limiti "strani" si usa Taylor o de l'Hopital (se vuoi farti del male)

Ecco, così è meglio.

[Lucrezia29]

"gugo82":@ dan95: Permettimi una permutazione...

[quote="dan95"]Generalmente per calcolare limiti "strani" si usa Taylor o de l'Hopital (se vuoi farti del male)

Ecco, così è meglio. [/quote]

"dan95":[quote="_Lucrezia_"]Grazie per avermi aiutato.

Quindi ricapitolando devo semplicemente calcolarmi il limite con de l'Hopital oppure usare Taylor a seconda dei casi che mi ritrovo davanti giusto?

Ma dici in generale o per quanto riguarda questo esercizio?
Generalmente per calcolare limiti "strani" si usa de l'Hopital o Taylor (se vuoi farti del male)[/quote]

Scusate non riuscivo più a connettermi Comunque, ora mi eserciterò con Taylor per risolvere questo tipo di esercizi in quanto nel compito scritto di Analisi lo richiedono. Grazie!!