Stabilire l'esattezza di una forma differenziale?

[Maturando]

Salve, volevo chiedervi qualche strumenti pratico per verificare l'esattezza di una forma differenziale negli esercizi...

Cioè di solito per insiemi non troppo strani occorre semplicemente verificare la chiusura della forma...in pratica nei rettangoli, insieme stellati, connessi, potete farmi qualche esempio di qualche insieme in cui la forma anche se è chiusa non è esatta dal momento che gli insiemi presentano delle "stranezze"?

p.s.: un altro quesito: se una forma è differenziale esatta, dunque esiste una primitiva tale che le derivate parziali di questa primitiva, chiamata Potenziale, sono proprio le componenti della forma differenziale, è automaticamente implicito anche che il campo associato alla nostra forma differenziale è conservativo giusto?

[robbstark1]

Per quanto riguarda la seconda domanda la risposta è Sì, ma non per definizione, ma si dimostra.

Per quanto riguarda invece la prima domanda, basta considerare "insiemi con uno o più buchi" (in 2D).

Esempio classico: $omega(x,y)=-y/(x^2 +y^2) dx +x/(x^2 +y^2) dy$ definita in $RR^2 -{0}$ è chiusa ma non esatta.

[Maturando]

Ok, grazie per la risposta