Stabilire la natura di un punto critico
Abbiamo la funzione:
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y^{2}$
il problema è che dopo avere determinato i suoi 3 punti critici ho trovato problemi nello stabilire la natura del punto (0,0) in quanto la matrice hessiana è semi-definita negativa.
Qualcuno mi saprebbe folgorare con un'idea su come studiare il segno della funzione f(x,y)-f(0,0)?
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y^{2}$
il problema è che dopo avere determinato i suoi 3 punti critici ho trovato problemi nello stabilire la natura del punto (0,0) in quanto la matrice hessiana è semi-definita negativa.
Qualcuno mi saprebbe folgorare con un'idea su come studiare il segno della funzione f(x,y)-f(0,0)?
Risposte
Se non vedo male, prova a considerare la restrizione di $f$ a $y=sqrt2$ e a studiare il segno di $f(x,sqrt2)$ in un opportuno intorno di $O(0,0)$...
ok paolo ti credo 
... ma in che maniera mi sarei dovuto accorgere di una cosa di queste?
... ma in che maniera mi sarei dovuto accorgere di una cosa di queste?
"Paolo90":? ma i punti del tipo $(x,sqrt2)$ "stanno lontano da $(0,0)$. Mi sa che c'è un misprint.
Se non vedo male, prova a considerare la restrizione di $f$ a $y=sqrt2$ e a studiare il segno di $f(x,sqrt2)$ in un opportuno intorno di $O(0,0)$...
infatti .... avoglia io che stavo a pensarci -_-' .... allora consigli?
ma possibile che non si riesce a studiare il segno in un intorno di sto punto?
ma possibile che non si riesce a studiare il segno in un intorno di sto punto?
Ma sì, certo, scusatemi, non so che cavolo volevo dire: mi sono sbagliato e ho scritto una scemenza. Non me ne capacito, si vede che mi sono distratto. Mi scuso.
Johnny, ascolta: la tua funzione è $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$.
Se tu la valuti lungo $y=0$, trovi $f(x,0)=x^4-2x^2$ che, come si può facilmente verificare, è negativa in un intorno dell'origine.
Invece, se consideri la restrizione "alla bisettrice", $y=x$, trovi $f(x,x)=2x^4$ che è sempre positiva.
Abbiamo trovato due direzioni lungo le quali la funzione assume segni diversi in un intorno dell'origine. E $f(0,0)=0$. A te le conclusioni.
E ancora scusa per la svista di prima.
Johnny, ascolta: la tua funzione è $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$.
Se tu la valuti lungo $y=0$, trovi $f(x,0)=x^4-2x^2$ che, come si può facilmente verificare, è negativa in un intorno dell'origine.
Invece, se consideri la restrizione "alla bisettrice", $y=x$, trovi $f(x,x)=2x^4$ che è sempre positiva.
Abbiamo trovato due direzioni lungo le quali la funzione assume segni diversi in un intorno dell'origine. E $f(0,0)=0$. A te le conclusioni.
E ancora scusa per la svista di prima.
Paolo ti ringrazio ora ho capito veramente todos ^^ .... se prendo 30 e lode ti offro un caffè
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