Stabilire la convergenza o meno di una serie

[Dust1]

Un'aiutino su questa serie:

$sum_(k=1)^(+oo)((cos(1/k)-1)*log(k^2/(k+1)))$

Mi servirebbe anche un'aiutino per questi integrali.. Basta sapere la metodologia con la quale affrontarli, grazie

$int_5^(+oo)(1/(sqrt(e^x-e^5)))$

e

$int_1^(+oo)((1/x)*sqrt(x/(x+1)))$


Grazie

[fireball1]

La serie dovrebbe risultare convergente...
Si ha: $(cos(1/k)-1)log(k^2/(k+1))~~ -1/(2k^2) logk$
e si ha $-(logk)/(2k^2) = o(1/k^lambda)$ per ogni $lambda>0$,
da cui la convergenza.

[Dust1]

"fireball":La serie dovrebbe risultare convergente...
Si ha: $(cos(1/k)-1)log(k^2/(k+1))~~ -1/(2k^2) logk$
e si ha $-(logk)/(2k^2) = o(1/k^lambda)$ per ogni $lambda>0$,
da cui la convergenza.

Scusa, ma se il rapporto $-(logk)/(2k^2)$ è un $o(1/k^lambda)$ non significa che non esiste l'ordine di infinito? Non riesco a capire che criterio tu abbia utilizzato.. ???

[fireball1]

Il primo integrale è senz'altro convergente a $+oo$
perché si ha $1/sqrt(e^x-e^5) ~~ e^(-x/2) = o(1/x^lambda)$
per ogni $lambda>0$, o comunque, anche senza dire
che è un infinitesimo di ordine superiore a $1/x^lambda$,
è chiaro che $e^(-x/2)$ è integrabile in un intorno di $+oo$.
Per vedere che è convergente anche in un intorno destro di 5 basta
notare che $1/sqrt(e^x-e^5) = 1/sqrt(e^5(e^(x-5)-1)) = 1/(sqrt(e^5)*sqrt(e^(x-5)-1))~~1/(sqrt(e^5)*sqrt(x-5))
che è un infinito di ordine $1/2<1$ per $x->5^+$, quindi $1/sqrt(e^x-e^5)$ risulta integrabile in $(5,+oo)$.

[fireball1]

"Dust":Scusa, ma se il rapporto $-(logk)/(2k^2)$ è un $o(1/k^lambda)$ non significa che non esiste l'ordine di infinito? Non riesco a capire che criterio tu abbia utilizzato.. ???

L'ordine di infinitesimo non esiste, ma quello che conta è che va a 0 più velocemente
di $1/k$, e questo è vero. Ho detto che è un $o(1/k^lambda)$ per ogni $lambda>0$,
e quindi in particolare anche per $lambda>1$.

[fireball1]

Il secondo integrale "non dà problemi" in un intorno
destro di 1, infatti la funzione è continua in un intervallo
del tipo $[1,1+epsilon)$ per ogni $epsilon>0$ e dunque integrabile.
Il problema dell'integrabilità in senso improprio si pone
allora solo per $x->+oo$. La funzione integranda può
essere semplificata in: $1/(sqrtxsqrt(x+1))$ che per $x->+oo$
è asintotica a $1/x$ che non è integrabile a $+oo$,
quindi il secondo integrale non è convergente.

[Dust1]

"fireball":[quote="Dust"]Scusa, ma se il rapporto $-(logk)/(2k^2)$ è un $o(1/k^lambda)$ non significa che non esiste l'ordine di infinito? Non riesco a capire che criterio tu abbia utilizzato.. ???

L'ordine di infinitesimo non esiste, ma quello che conta è che va a 0 più velocemente
di $1/k$, e questo è vero. Ho detto che è un $o(1/k^lambda)$ per ogni $lambda>0$,
e quindi in particolare anche per $lambda>1$.[/quote]


Sarà che non ho ancora fatto molti esercizi sulle serie, ma non avevo mai utilizzato il confronto asintotico in questo modo. Comunque ti ringrazio, ho capito. La cosa che mi perplime ancora è come tu faccia a dire che $-(logk)/(2k^2)=o(1/k^lambda)$.

Magari non riesco a capirlo perchè sono proprio fuso oggi.. Fatto sta che mi sembra oscura quella uguaglianza.

[fireball1]

Se vuoi esercitarti su questi argomenti scarica pure questo file,
è una raccolta di prove d'esame assegnate
dalla mia prof., la prof. Dal Passo, che ha
scritto il tuo libro "Elementi di Analisi Matematica".

[Dust1]

"fireball":Se vuoi esercitarti su questi argomenti scarica pure questo file,
è una raccolta di prove d'esame assegnate
dalla mia prof., la prof. Dal Passo, che ha
scritto il tuo libro "Elementi di Analisi Matematica".

Ti ringrazio!!

ps:quando si dice un buon insegnante...

[fireball1]

Scusami, l'uguaglianza che tu reputi "oscura" è sempre
valida solo che ho dimenticato di precisare che
$(-logk/(2k^2))=o(1/k^lambda)$ non per ogni $lambda>0$
ma per ogni $0 Comunque il risultato non cambia.

[Dust1]

"fireball":Scusami, l'uguaglianza che tu reputi "oscura" è sempre
valida solo che ho dimenticato di precisare che
$(-logk/(2k^2))=o(1/k^lambda)$ non per ogni $lambda>0$
ma per ogni $0 Comunque il risultato non cambia.

Intendo dire che io avrei scritto che $(-logk/(2k^2))=o(logk/k^lambda)$...

[fireball1]

Non cambia molto... Comunque tu dovresti più
che altro dire se va più lentamente o più velocemente
a zero di $1/k^lambda$, è questo che conta principalmente.
Un altro modo che ora mi viene in mente di studiare
la convergenza di $sum_(k=1)^oo (-logk)/(2k^2)
è controllare la convergenza assoluta (da cui seguirà
quindi quella semplice) usando il criterio di condensazione.
Si ha che $sum_(k=1)^oo |-logk|/(2k^2)$ converge se e solo
se converge $sum_(k=0)^oo 2^k |-klog2|/(2*2^(2k))
ed ora è chiaro che questa serie è convergente in quanto
si comporta come la serie dei $k/2^k$ che converge,
essendoci a denominatore un termine esponenziale con base > 1
(infatti $k/2^k$ va senz'altro a 0 più velocemente di $1/k$).
Quindi dalla convergenza assoluta segue quella semplice,
da cui segue ancora quella della serie di partenza per il criterio del confronto asintotico.

[Dust1]

Scusa se tiro in ballo nuovamente questo esempio ma volevo un parere su:

$sum_(k=1)^(+oo)((cos(1/k)-1)*log(k^2/(k+1)))$

Volevo chiedere se è possibile fare una cosa del genere. Vedere $((cos(1/k)-1)*log(k^2/(k+1)))$ come $((cos(1/k)-1)*(-log((k+1)/k^2)))$ ed ora, visto che per $kto+oo$ sia l'argomento del $cos$ che del $log$ tendono a 0 considerare gli sviluppi asintotici ottenendo

$((cos(1/k)-1)*log(k^2/(k+1))) = ((cos(1/k)-1)*(-log((k+1)/k^2))) ~~ (-1/(2k^2))*(-((k+1)/k^2-1)) = (-1/(2k^2))*((-k^2+k+1)/k^2)) ~~ 1/k^2 $ perciò la serie converge?

[Dust1]

Se potete rispondetemi, così mi tolgo un pensiero su questo argomento..

Ho proceduto allo stesso modo per risolvere questa:
$sum_(k=1)^(+oo)1/(klog(k^2+1))$

So che diverge(basta vedere gli esponenti di $k$ e del $log$ nello studio fatto da piera in un altro post) comunque volevo chiedere se posso fare come sopra, quindi:

$log(k^2+1)=-log(1/(k^2+1)) ~~ -1/(k^2+1)-1$ da cui $lim_(kto+oo)-1/(k^2+1)-1=-1$

quindi

$1/(klog(k^2+1)) ~~ 1/(k*(-(1/(k^2+1)-1))) ~~ 1/k$

quindi la serie diverge?

GRazie, ciao

[Fioravante Patrone1]

"Dust":
$log(k^2+1)=-log(1/(k^2+1)) ~~ -1/(k^2+1)-1$ da cui $lim_(kto+oo)-1/(k^2+1)-1=-1$

no, Dust, è sbagliato

più precisamente, il passaggio scorretto è:
$-log(1/(k^2+1)) ~~ -1/(k^2+1)-1$

d'altronde, è evidente (penso) che il limite di $log(k^2+1)$ è infinito

puoi usare il critrerio integrale per questa serie

[Dust1]

d'altronde, è evidente (penso) che il limite di $log(k^2+1)$ è infinito

Ora che la vedo in quest'ottica non posso che darti ragione. Non è "proprio" esatto che dopo aver fatto una manipolazione algebrica il limite venga diverso...

Comunque, sono ancora dubbioso su un punto. Facendo come ho fatto io è sbagliato perchè lo sviluppo di taylor(che mi sembra di aver fatto correttamente) approssima la funzione in un intorno di $0$, o no?

Se è così ho capito il punto in cui mi sono "fatto abbindolare ". Sono stato portato fuori strada perchè ho considerato la trasformazione in cui , per $kto+oo$ $1/(k^2+1)to0$, però, poi, al posto di considerare l'intorno di $0$, ho continuato a considerare $kto+oo$

Be, meglio farli ora che durante il compito questi errori!

[Fioravante Patrone1]

non sono certo di riuscire a seguire i tuoi ragionamenti, ma comunque l'errore che fai nella applicazione di Taylor è che tu vuoi usare vicino a $0$ una approssimazione di $\ln x$ che è valida in un intorno di $1$

e, attenzione: $k$ tendeva e continua a tendere a $oo$. Non è che, perché consideri, che so, $1/k$ allora per magia $k$ se ne va a zero

[Dust1]

"Fioravante Patrone": attenzione: $k$ tendeva e continua a tendere a $oo$. Non è che, perché consideri, che so, $1/k$ allora per magia $k$ se ne va a zero

Scusa, mi sono espresso male, ma è proprio ciò che volevo intendere.. Volevo dire che ho fatto il cambio di variabile, nel tuo esempio $y=1/k$ che tende a $0$ con $kto+oo$ ma poi ho continuato a considerare la validità di tale approssimazione in un intorno di $k$, cioè un'intorno di $+oo$