$sqrt(3)$ non è razionale
Salve a tutti ragazzi,
oggi il mio fratellino mi ha chiesto di dimostrargli questa cosa perchè dovrebbe portarla a scuola!
Io ho cavato fuori dapprima una dimostrazione che sfruttava i polinomi, cioè considerando $x^2 - 3=0$ e pensando al fatto che non ha radici razionali, ma poiché non credo che in IV ginnasio abbiano fatto la fattorizzazione dei polinomi in $QQ$ ne ho cercato un'altra che in qualche modo richiamasse quella di $sqrt(2)$
Ve la sottopongo per magari verificarne la correttezza, e perchè magari mi diceste se ne esistono di più "eleganti":
sia per assurdo $sqrt(3)=n/m$ con $n,m in ZZ$ e $MCD (n,m)=1$
considero $3m^2=n^2$
poichè $m in ZZ$ allora $m$ pari oppure $m$ dispari
suppongo $m=2k$ con $k in ZZ$ allora risulta $2(6k^2)=n^2$ ma questo è assurdo poiché risulterebbe $n$ pari.
allora $m=2k + 1$
distinguo ora due casi:
I) $n=2h+1$ risulta allora $12k^2 + 12k + 3= 4h^2 + 4h + 1$ da cui dopo calcoli si conclude che $2(3k^2 - h^2 + 3k - h)= -1$ e ciò è assurdo poichè $-1$ è dispari o se volete perché in $ZZ$ soltanto $1$ e $-1$ sono invertibili.
allora:
II)considero $n=2h$ risulta quindi $2(6k^2 + 6k -2h^2)=-3$, anche ciò è assurdo.
perciò concludo dicendo che il fatto che un intero $m$ non sia nè pari nè dispari è assurdo, che deriva dall'aver supposto che $sqrt(3)$ è razionale.
Può andare? E' corretta?
Grazie mille
oggi il mio fratellino mi ha chiesto di dimostrargli questa cosa perchè dovrebbe portarla a scuola!
Io ho cavato fuori dapprima una dimostrazione che sfruttava i polinomi, cioè considerando $x^2 - 3=0$ e pensando al fatto che non ha radici razionali, ma poiché non credo che in IV ginnasio abbiano fatto la fattorizzazione dei polinomi in $QQ$ ne ho cercato un'altra che in qualche modo richiamasse quella di $sqrt(2)$
Ve la sottopongo per magari verificarne la correttezza, e perchè magari mi diceste se ne esistono di più "eleganti":
sia per assurdo $sqrt(3)=n/m$ con $n,m in ZZ$ e $MCD (n,m)=1$
considero $3m^2=n^2$
poichè $m in ZZ$ allora $m$ pari oppure $m$ dispari
suppongo $m=2k$ con $k in ZZ$ allora risulta $2(6k^2)=n^2$ ma questo è assurdo poiché risulterebbe $n$ pari.
allora $m=2k + 1$
distinguo ora due casi:
I) $n=2h+1$ risulta allora $12k^2 + 12k + 3= 4h^2 + 4h + 1$ da cui dopo calcoli si conclude che $2(3k^2 - h^2 + 3k - h)= -1$ e ciò è assurdo poichè $-1$ è dispari o se volete perché in $ZZ$ soltanto $1$ e $-1$ sono invertibili.
allora:
II)considero $n=2h$ risulta quindi $2(6k^2 + 6k -2h^2)=-3$, anche ciò è assurdo.
perciò concludo dicendo che il fatto che un intero $m$ non sia nè pari nè dispari è assurdo, che deriva dall'aver supposto che $sqrt(3)$ è razionale.
Può andare? E' corretta?
Grazie mille
Risposte
Ciao. E' corretta, ma si può fare più semplicemente:
$n=3n_1$
$3m^2=9n_1 ^2$
$m^2=3n_1 ^2$
$m=3m_1$
Risulta che $m$ ed $n$ sono entrambi multipli di 3...
$n=3n_1$
$3m^2=9n_1 ^2$
$m^2=3n_1 ^2$
$m=3m_1$
Risulta che $m$ ed $n$ sono entrambi multipli di 3...
secondo me si
La dimostrazione è corretta ma lunga.
Quella di robbstark (che si generalizza facilmente al caso di $sqrt(p)$, con $p>0$ primo) è più breve e semplice.
Essenzialmente si basa sul fatto che, fissato un $p$ primo, per ogni $n\in NN$ si ha:
$n^2 " è divisibile per "p \Leftrightarrow n " è divisibile per "p$
come conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (quindi non è difficile da spiegare ad un ragazzo del ginnasio, ammesso che sappia cosa sia la scomposizione in fattori primi...).
Quella di robbstark (che si generalizza facilmente al caso di $sqrt(p)$, con $p>0$ primo) è più breve e semplice.
Essenzialmente si basa sul fatto che, fissato un $p$ primo, per ogni $n\in NN$ si ha:
$n^2 " è divisibile per "p \Leftrightarrow n " è divisibile per "p$
come conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica (quindi non è difficile da spiegare ad un ragazzo del ginnasio, ammesso che sappia cosa sia la scomposizione in fattori primi...).
vi ringrazio, proverò a spiegargliele entrambe e vedere quale trova più semplice!
(fanno cose davvero difficili ultimamente!)
(fanno cose davvero difficili ultimamente!)
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