Spunti per limiti

[geovito]

Ciao
sono piantato sio seguenti limiti da risolvere con limiti fondamentali, infiniti/infinitesimi e Hopital.
1) $lim_(x->0)(sin^2x(arcsin^2x+2cosx-2))/(log^2(1+x-sinx))$ forma indefinita $0/0$
Dai limiti fondamentali "elimino" il $sin x$ e il $logx$
$lim_(x->0)(x^2(arcsin^2x+2cosx-2))/((x-sinx)^2)$ forma indefinita $0/0$
A denominatore però resta un infinitesimo di ordine $(x^3/6)^2=x^6/36$. Come faccio a semplificarla? Il risultato è $15$

2) $lim_(x->0)(1-sqrt(1+cos4x-cos2x))/(arcsin(log(1+x)-sinhx)$ forma indefinita $0/0$
Dai limiti fondamentali
$lim_(x->0)(-(cos4x-cos2x))/[2(log(1+x)-sinhx)]$ Conviene considerare che $cos2x=cos^2x-sin^2x$? Oppure come conviene procedere?

3) $lim_(x->infty)log[((x+1)/x)-sin(1/x)]/(arctg((x+1)/x^2)-arctgh((x+1)/x^2)$ forma indefinita $0/0$
Opero un cambio di variabile ponendo $t=1/x$ da cui $lim_(t->0)log(1+t-sint)/(arctg(t+t^2)-arctgh(t+t^2)$ Coi limiti fondamentali elimino il logaritmo,
$lim_(t->0)(t-sint)/(arctg(t+t^2)-arctgh(t+t^2)$ COme conviene procedere?
Grazie

[gugo82]

Così, "a occhio", direi che si risolvono tutti approssimando con Taylor.

Ad esempio, per quanto riguarda 1), ricorda che [tex]$\arcsin x =x+\tfrac{1}{6}\ x^3+\text{o}(x^3)$[/tex], sicché:

[tex]$\arcsin^2 x=x^2+\frac{1}{3}\ x^4+\text{o}(x^4)$[/tex],

mentre:

[tex]$2\cos x-2=-x^2+\frac{1}{12}\ x^4+\text{o}(x^4)$[/tex];

d'altra parte [tex]$x-\sin x=\tfrac{1}{6}\ x^3 +\text{o}(x^3)$[/tex], cosicché:

[tex]$(x-\sin x)^2=\frac{1}{36}\ x^6+\text{o}(x^6)$[/tex]...

Metti tutto insieme a questo punto e finisci.

Gli altri si faranno allo stesso modo.

[geovito]

mi date degli spunti senza taylor,ma ricorrendo solo a Hopital, limiti fondamentali e infinitesimi/infiniti?
Grazie