Spiegazioni su un limite con log

[francesco.gazzola.18]

$lim_{n \to \+ infty} ((n^2+2n)/(n^2-3))^(-5n)

=lim_{n \to \ + infty} e^(-5n*log((n^2+2n)/(n^2-3)))
$
A questo punto io ho calcolato il lim dell'argomento di log il quale risulta tendere a 1 perciò log1=0 e resterebbe
$ lim_{n \to \ + infty} e^(-5n*0) = e^(-oo * 0)$
però da qui non saprei come andare avanti.

Il libro però mi da che il risultato è $ e^-10 $ e fa questo procedimento che non ho ben capito:
$lim_{n \to \ + infty} e^(-5n*log((n^2+2n)/(n^2-3)))$
poi scrivono che dato che l'argomento tende a 1 allora $-5n((n^2+2n)/(n^2-3)-1) = -5n((2n+3)/(n^2-3))= -5n*2/n=-10$

Qualcuno può spiegarmi come hanno fato ad eliminare il $log$? e perchè hanno aggiunto quel $-1$?

[ostrogoto1]

Si vuole usare il limite notevole o lo sviluppo di Taylor del logaritmo $ log(1+x)=x+o(x) $ e dato che nello sviluppo compare $ (1+x) $ per $ xrarr0 $ ma nell'espressione originale del limite in questione non non compare 1 si aggiunge e si toglie 1 nell'espressione originale osservando che $ (2n+3)/(n^2-3)rarr0 $ per $ nrarr+oo $ come richiesto:

$ (n^2+2n)/(n^2-3)=(n^2+2n)/(n^2-3)-1+1=1+(2n+3)/(n^2-3) $

$ log(1+(2n+3)/(n^2-3))=(2n+3)/(n^2-3)+o(1/n) $

[francesco.gazzola.18]

E con il limite notevole come intendi? Perche Taylor devo ancora farlo quindi non penso che questo esercizio richiedesse quella tecnica

comunque ho tentanto un'altra volta però presumo sia sbagliato:
$ −5nlog((n^2+2n)/(n^2−3))$
lasciando perdere le costanti: $ −5nlog((n^2+2n)/(n^2))= -5nlog((n(n+2))/n^2)=-5nlog(n/n+2/n)=-5nlog(1+2/n)=-5nlog(2/n)=-5n(2/n)=-10$

però ho un dubbio nel ultimo passaggio: si può eliminare il log così? perchè ametto che ora mi sono fatto guidare dal fatto di sapere già il risultato, ma se non lo avessi conosciuto avrei lasciato il log

[francesco.gazzola.18]

Penso di aver capito:
in pratica $−5nlog(1+2/n)=-5nlog(e^(2/n))$
percio dato che $loge^(2/n)=2/n$ ho che $-5nlog(e^(2/n))=-5n*2/n=-10$
Giusto o ho sbagliato qualcosa?

[ostrogoto1]

Il limite notevole al quale facevo riferimento e':

$ lim(log(1+f(x)))/f(x)=1 $ per $ f(x)rarr0 $

Per applicarlo modifico l'espressione originale aggiungendo e togliendo 1:

$ (n^2+2n)/(n^2-3)=(n^2+2n)/(n^2-3)-1+1=1+(2n+3)/(n^2-3) $ con $ (2n+3)/(n^2-3)rarr0 $ per $ nrarr+oo $

$ lim_(nrarr+oo)e^(-5nlog((n^2+2n)/(n^2-3)))=lim_(nrarr+oo)e^(-5n*(2n+3)/(n^2-3)log(1+(2n+3)/(n^2-3))/((2n+3)/(n^2-3))) $

sfrutto limite notevole: $ log(1+(2n+3)/(n^2-3))/((2n+3)/(n^2-3))rarr1 $ per $ nrarr+oo $ cosi' resta:

$ -5n(2n+3)/(n^2-3)=-5(2n^2+3n)/(n^2-3)=-5(2+3/n)/(1-3/n^2)rarr-10 $ per $ nrarr+oo $

e quindi il limite iniziale vale $ e^-10 $