Spiegazione limite a due variabili
Il seguente limite
lim (x,y) -> (0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))
l'ho sviluppato in questo modo
(x^5 + y^5)/ ((x^2)(x^2 + y^2))
quindi passando in coordinate polari
lim (rho -> 0) (rho * ( cos^5 t + sen^5 t)) / (cos^2 t)
allora ho scritto
il limite non esiste perchè dipendente da 0<= t<= 2pi
Sembra che la risposta non sia proprio corretta.
Ho perso 4 punti per questo sull'esercizio.
Io ho ragionato in questo modo: quando il denominatore tende a 0 il limite diverge mentre per ogni altro valore di t il limite vale 0.
Però ho scritto sul compito solo la frase sopra esposta.
Qualcuno può darmi qialche delucidazione??
Grazie
lim (x,y) -> (0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))
l'ho sviluppato in questo modo
(x^5 + y^5)/ ((x^2)(x^2 + y^2))
quindi passando in coordinate polari
lim (rho -> 0) (rho * ( cos^5 t + sen^5 t)) / (cos^2 t)
allora ho scritto
il limite non esiste perchè dipendente da 0<= t<= 2pi
Sembra che la risposta non sia proprio corretta.
Ho perso 4 punti per questo sull'esercizio.
Io ho ragionato in questo modo: quando il denominatore tende a 0 il limite diverge mentre per ogni altro valore di t il limite vale 0.
Però ho scritto sul compito solo la frase sopra esposta.
Qualcuno può darmi qialche delucidazione??
Grazie
Risposte
Il limite è:
r*(c^5+s^5)/(c^2)
c=cos(t)
s=sin(t)
Per avvicinarsi all'origine ci sono svariati modi.
Far tendere a 0 r e lasciare costante t vuol dire avvicinarsi lungo una retta.
Ma ci si può avvicinare lungo infinite altre curve, per le quali, in generale, r dipende da t (o viceversa).
Se t=0 costante (cioè ci avviciniamo lungo l'asse delle x) il limite vale palesemente 0.
Se invece t=pi/2 costante... beh la funzione non è neppure definita lungo l'asse y!!!
Il c^2 si annulla se t=pi/2. Cerchiamo allora una curva tale che, nell'intorno dell'origine, abbia pendenza t=pi/2. Ad esempio x=y^2 va benissimo. Sostituendo vedi che il limite è infinito.
Tre casi con tre risultati differenti... il limite non esiste!
Forse il tuo prof. pretendeva un'analisi + dettagliata dei singoli casi...
r*(c^5+s^5)/(c^2)
c=cos(t)
s=sin(t)
Per avvicinarsi all'origine ci sono svariati modi.
Far tendere a 0 r e lasciare costante t vuol dire avvicinarsi lungo una retta.
Ma ci si può avvicinare lungo infinite altre curve, per le quali, in generale, r dipende da t (o viceversa).
Se t=0 costante (cioè ci avviciniamo lungo l'asse delle x) il limite vale palesemente 0.
Se invece t=pi/2 costante... beh la funzione non è neppure definita lungo l'asse y!!!
Il c^2 si annulla se t=pi/2. Cerchiamo allora una curva tale che, nell'intorno dell'origine, abbia pendenza t=pi/2. Ad esempio x=y^2 va benissimo. Sostituendo vedi che il limite è infinito.
Tre casi con tre risultati differenti... il limite non esiste!
Forse il tuo prof. pretendeva un'analisi + dettagliata dei singoli casi...
Ti ringrazio per la spiegazione come di consueto molto esauriente.
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