Spiegazione limite
mi spiegate come si arriva al risultato?..lo riporto come da teso del mio libro..ovviamente Fx è una funzione F che dipende da x; e $\Deltax$ è un incremento di x.
$\lim_{\Deltax \to 0} 1/(\Deltax) *\int_{x}^{x+\Deltax} F_xdx= F_x$
per chi potrebbe sembrare una cosa assurda, la ritrovo nella dimostrazione di :
se una forza è conservativa allora esisterà di certo una funzione potenziale V, il cui gradiente è la funzione stessa..confido in voi
$\lim_{\Deltax \to 0} 1/(\Deltax) *\int_{x}^{x+\Deltax} F_xdx= F_x$
per chi potrebbe sembrare una cosa assurda, la ritrovo nella dimostrazione di :
se una forza è conservativa allora esisterà di certo una funzione potenziale V, il cui gradiente è la funzione stessa..confido in voi
Risposte
Se $F_x$ è una funzione continua, come immagino che sia, allora l'uguaglianza segue direttamente dal teorema fondamentale del calcolo integrale, di cui ti invito a rivedere la dimostrazione, sarà utile vedrai 
al momento non ho tempo..mi protrebbe dare qualche delucidazione in più lei stesso?--la ringrazio..!cmq la funzione Fx è' continua giustamente..ho dimenticato ad inserirlo..grazie
Guarda che la dimostrazione di quel teorema è facilissima. Ti conviene riguarda quel teorema comunque che è molto utile nello studio di funzioni integrali.
Comunque, prova a utilizzare il teorema della media.
Comunque, prova a utilizzare il teorema della media.
"fonzimase":
al momento non ho tempo..mi protrebbe dare qualche delucidazione in più lei stesso?--la ringrazio..!cmq la funzione Fx è' continua giustamente..ho dimenticato ad inserirlo..grazie
Perdona la mia insistenza, ma hai letto la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale come ti ho suggerito?
"Mathematico":
[quote="fonzimase"]al momento non ho tempo..mi protrebbe dare qualche delucidazione in più lei stesso?--la ringrazio..!cmq la funzione Fx è' continua giustamente..ho dimenticato ad inserirlo..grazie
Perdona la mia insistenza, ma hai letto la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale come ti ho suggerito?[/quote]
si..dovrebbe dire da quello che ho capito che:
sia $f:[a,b]$ una funzione continua e sia F:[a,b] una primitiva di f, invero $F'(x) = f$ allora
$\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$ ; ho visto anche la dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale, ma non ne vedo il nesso logico fra le due cose perchè dunque secondo il teorema di sopra, potrei scrivere:
$lim_(\Delta_x->0)1/\Delta_x*\int_{x}^{x+(\Delta_x)} F_xdx =lim_(\Delta_x->0) (F'_(x+\Delta_x)-F'_x)/\Delta_x$
che ovviamente da definizione di derivata (visto come limite di un rapporto incrementale, con incremento $\Delta_x$, direi che tutta questa quantità sopra sia:
$(F'_x)'$ ovvero la derivata di $F'(x)$..
ma poi non riesco a capire come si arriva a capire che tutta quasta quantità sia proprio Fx;..mi spieghi meglio..la prego..grazie sempre
fonzi ricordi il teorema fondamentale del calcolo integrale? quello è il tuo rapporto incrementale, per il 2° teorema della media esiste un punto $x_0 in (x,x+\Deltax)$ che dipende esclusivamente dall'incremento $\Deltax$ dunque puoi indicarlo come $x_0(\Deltax)$ e la il tuo rapporto incrementale lo puoi scrivere come: $lim_(\Deltax -> 0) 1/\Deltax*int_(x)^(x+\Deltax) F_x=f(x_0(\Deltax))$
al limite :
$lim_(\Deltax -> 0) x_0(\Deltax)=x$ dunque tutta l'espressione di sopra ti viene uguale a $f(x)$ non so se sono stato chiaro!
al limite :
$lim_(\Deltax -> 0) x_0(\Deltax)=x$ dunque tutta l'espressione di sopra ti viene uguale a $f(x)$ non so se sono stato chiaro!
vediamo dunque se c'ho che ho capito è giusto:
Se $\Delta_x$ è piccolo, la differenza fra $F(x+\Delta_x)$ e $F(x)$ è approssimabile con l'area di un rettangolino di altezza $F_x$ e ampiezza $\Delta_x$. L'approssimazione risulterà tanto migliore quanto più piccolo sarà il passo $\Delta_x$ scelto. Quindi il valore della derivata della funzione F nel punto x risulta proprio:
$\lim_{\Delta_x \to \0} 1/(\Delta_x)*\int_{x}^{x+\Delta_x} F_x dx = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x(x+\Delta_x)-F_x(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * (x) + F_x * (\Delta_x) - F_x*(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * \Delta_x)/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} F_x * (\Delta_x)/(\Delta_x)= \lim_{\Delta_x \to \0} F_x = F_x
ovvero la derivata della funzione integrale in un qualsiasi punto coincide esattamente con la funzione oggetto di integrazione. Dunque se prima integriamo una funzione e poi la deriviamo, otteniamo di nuova la funzione di partenza! giusto? è per questo che riottengo la $F_x$ che tanto cerco?grazie sempre
Se $\Delta_x$ è piccolo, la differenza fra $F(x+\Delta_x)$ e $F(x)$ è approssimabile con l'area di un rettangolino di altezza $F_x$ e ampiezza $\Delta_x$. L'approssimazione risulterà tanto migliore quanto più piccolo sarà il passo $\Delta_x$ scelto. Quindi il valore della derivata della funzione F nel punto x risulta proprio:
$\lim_{\Delta_x \to \0} 1/(\Delta_x)*\int_{x}^{x+\Delta_x} F_x dx = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x(x+\Delta_x)-F_x(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * (x) + F_x * (\Delta_x) - F_x*(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * \Delta_x)/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} F_x * (\Delta_x)/(\Delta_x)= \lim_{\Delta_x \to \0} F_x = F_x
ovvero la derivata della funzione integrale in un qualsiasi punto coincide esattamente con la funzione oggetto di integrazione. Dunque se prima integriamo una funzione e poi la deriviamo, otteniamo di nuova la funzione di partenza! giusto? è per questo che riottengo la $F_x$ che tanto cerco?grazie sempre
"fonzimase":.
vediamo dunque se c'ho che ho capito è giusto:
Se $\Delta_x$ è piccolo, la differenza fra $F(x+\Delta_x)$ e $F(x)$ è approssimabile con l'area di un rettangolino di altezza $F_x$ e ampiezza $\Delta_x$. L'approssimazione risulterà tanto migliore quanto più piccolo sarà il passo $\Delta_x$ scelto. Quindi il valore della derivata della funzione F nel punto x risulta proprio:
$\lim_{\Delta_x \to \0} 1/(\Delta_x)*\int_{x}^{x+\Delta_x} F_x dx = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x(x+\Delta_x)-F_x(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * (x) + F_x * (\Delta_x) - F_x*(x))/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} (F_x * \Delta_x)/(\Delta_x) = \lim_{\Delta_x \to \0} F_x * (\Delta_x)/(\Delta_x)= \lim_{\Delta_x \to \0} F_x = F_x
ovvero la derivata della funzione integrale in un qualsiasi punto coincide esattamente con la funzione oggetto di integrazione. Dunque se prima integriamo una funzione e poi la deriviamo, otteniamo di nuova la funzione di partenza! giusto? è per questo che riottengo la $F_x$ che tanto cerco?grazie sempre
Mi spiace ma non ci siamo, ci sono alcuni errori, a partire dal primo passaggio. Non disperarti però
. Facciamo un passetto indietro.Sia $F_x$ una funzione continua in un intervallo $[a, b]$, definiamo la funzione integrale $\phi(x)=\int_{a}^x F_x dx$, essa sarà continua in [tex][a, b][/tex] e derivabile in [tex](a, b)[/tex] con [tex]\phi'(x)= F_x (x)[/tex] per [tex]x\in (a, b)[/tex]
Com'è definita [tex]\phi'(x)[/tex]? Semplice è il limite del rapporto incrementale cioè:
[tex]$\phi'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\phi(x+ \Delta x)- \phi(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\int_{a}^{x+\Delta x} F_x dx- \int_a^x F_x dx}{\Delta x}[/tex] con [tex]x\in (a, b)[/tex]
Per l'additività dell'integrale si ha:
[tex]\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\int_{a}^{x+\Delta x} F_x dx- \int_a^x F_x dx}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\int_{x}^{x+ \Delta x} F_x dx}{\Delta x}[/tex], bene quest'ultimo è il nostro limite carogna.
[tex]$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\int_{x}^{x+ \Delta x} F_x dx}{\Delta x}=\phi'(x) =F_x(x)[/tex] .
Alla luce di questi nuovi eventi, ti esorto ad imparare il (primo) teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim
), ti tornerà utile in futuro.
esattamente solo che io ho fatto riferimento al secondo teorema della media!!!
grazie davvero a voi tutti.ora e tutto più chiaro e logico..!..grazie davvero per la pazienza spesa
grazie carissimo mathematico e paolotesla..siete stati davvero gentilissimi ed esaustivi..grazie per la pazienza spesa..provvederò subito ad imparare il tutto..
di niente fonzi spero potrai aiutarmi in futuro!!!
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