Spiegazione integrali

[andros1]

da questo esercizio:
$\int 1/(root(4)(2x+1)) dx = 1/2 \int (2x+1)^(-1/4) D(2x) dx$

mi spiegate cosa è stato fatto e soprattutto da dove esce $1/2$ ?

[Riccardo Desimini]

Moltiplica e dividi per \( 2 \) nel primo integrale: il \( 2 \) a denominatore lo lasci fuori, quello a numeratore lo porti dentro l'integrale e lo esprimi come derivata di \( 2x \).

[giammarco.cugliari]

Penso sia stato moltiplicato e diviso tutto per due e poi si è portato il due del numeratore sotto il differenziale.

[andros1]

infatti senza,derivando il risultato non viene giusto...ma perche farlo ?

[gugo82]

L'idea è quella di ricondurre l'integrale ad un intergale "della tabella", in particolare all'integrale:
\[
\int f^\alpha (x)\ f^\prime (x)\ \text{d} x = \frac{1}{\alpha+1}\ f^{\alpha +1}(x) +C\qquad \text{per } \alpha \neq -1\; .
\]
Per fare ciò, devi individuare \(\alpha\) ed \(f(x)\) e poi chiederti se riesci a far comparire sotto il segno d'integrale la derivata \(f^\prime (x)\)... Se ci riesci, applichi la formula e risolvi.

[andros1]

Quindi è tutto un magheggio per far comparire la derivata sotto l' integrale !
Se $f^a(x)=(2x+1)^(-1/4) $e $ f'(x)=2$ quello che mi manca e a derivata e la faccio entrare moltiplicando e dividendo per $2$!
Si ricollega alla derivazione di una funzione elevata ad $a$ che poi e una derivazione di funzione composta, giusto ?