Spiegazione integrale

[TonioIngInformatica]

ciao a tutti, mi sapreste spiegare il passaggio nella risoluzione di questo integrale?

$ int dx/(1+2x^2) $

$ int dx/(1+sqrt(2)x^2)$ perchè si mette sotto radice il 2?

$ 1/sqrt(2)int (sqrt(2) dx)/(1+sqrt(2)x^2)$

[Lo_zio_Tom]

per ricondurlo ad un integrale noto

[Lo_zio_Tom]

infatti sappiamo che

$int1/(1+x^2)dx=arctanx +C$

prendiamo il nostro integrale

$int1/(1+2x^2)dx$ e cerchiamo di ricondurlo a quello noto:

primo step:


$int1/(1+(sqrt(2)x)^2)dx$

ancora manca qualche cosa....infatti a denominatore abbiamo $sqrt(2)x$, al quadrato....ma l'integrale è differenziato in $x$...infatti compare $dx$....dobbiamo far comparire nell'integrale $dsqrt(2)x$

secondo step

$1/sqrt(2)int1/(1+(sqrt(2)x)^2)dsqrt(2)x$

ora tutto torna....la primitiva è $1/sqrt(2)arctan(sqrt(2)x)+C$

chiaro?

[TonioIngInformatica]

si quello l'avevo capito che era per ricondurlo all'integrale noto, ma perché mettere $sqrt(2)$

[TonioIngInformatica]

e non farlo con $2$?

[Lo_zio_Tom]

"TonioIngInformatica":si quello l'avevo capito che era per ricondurlo all'integrale noto, ma perché mettere $sqrt(2)$

se guardi ti ho fatto tutti i passaggi...

[Lo_zio_Tom]

"TonioIngInformatica":e non farlo con $2$?

per il semplice fatto che con 2 non riusciresti a ricondurlo all'integrale noto...occorre usare un coefficiente "ad hoc" non un numero preso a caso

[Lo_zio_Tom]

se non riesci a capirlo così...

prova a fare la seguente sostituzione nell'integrale di partenza

$sqrt(2)x=t$

[Lo_zio_Tom]

giusto per vedere se non ho buttato caratteri al web....(citazione copiata...)

prova a fare questo

$int1/(3+2x^2)dx$

con lo stesso metodo....ovvero cerca di modificare i coefficienti in modo da ricondurlo all'integrale noto...

[TonioIngInformatica]

$ 1/3 int 1/(1+2/3 x^2) $
Ora al numeratore dovrei avere la derivata di $f(x)$ giusto?

[TonioIngInformatica]

$2/3 x^2$
$y'= 4/3 x$

[TonioIngInformatica]

Penso di aver capito cosa sbagliavo,
Allora si mette $ sqrt(2) $ perché devo farci la derivata al numeratore e mettendo solo 2 sarebbe 0 il numeratore e ciò non può essere giusto ?

[Lo_zio_Tom]

"TonioIngInformatica":$ 1/3 int 1/(1+2/3 x^2) $
Ora al numeratore dovrei avere la derivata di $f(x)$ giusto?

intanto in questo integrale manca il differenziale...cosa non da poco

[TonioIngInformatica]

Si si hai ragione ho dimenticato di scriverlo nel forum

[eraclio666]

$ int 1/(9+x^2) dx $
$int 1/9 1/(1+(x/3)^2 ) dx $
$1/3 int (1/3)/(1+(x/3)^2)$
Perché è stato semplificato $1/9$?

[Lo_zio_Tom]

$int1/(3+2x^2)dx=1/3int1/(1+(sqrt(2/3)x)^2)dx$

ora sistemiamo il differenziale


$1/3sqrt(3/2)int1/(1+(sqrt(2/3)x)^2)d(sqrt(2/3)x)$

$1/sqrt(6)int1/(1+t^2)dt$

[eraclio666]

Ok ok ora mi è più chiaro grazie tante

[Lo_zio_Tom]

"eraclio666":$ int 1/(9+x^2) dx $
$int 1/9 1/(1+(x/3)^2 ) dx $
$1/3 int (1/3)/(1+(x/3)^2)$
Perché è stato semplificato $1/9$?

perché una parte di 1/9 è finita nel differenziale


$int1/(9+x^2)dx=1/9int1/(1+(x/3)^2)dx=1/3int1/(1+(x/3)^2)d(x/3)=$

chiaro ora?

[TonioIngInformatica]

si si , grazie mille