Spiegazione di un risultato su un'equazione complessa

[Dino 921]

Salve, mi scuso in anticipo per il modo antipatico in cui vi pongo il quesito: seguendo un link. Non si tratta di svogliatezza nello scrivere, ma dei problemi alla mano destra mi impogono di egonomizzare la fatica.
dunque nel seguente link, a pagina 65 :

http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... lisi_i.pdf

vi invito a guardare la soluzione del primo esercizio. chi mi spiega per quale proprietà valgono le tre implicazioni sul modulo?

io ho tentato di risolvere ponendo

$z^2 (|z|^2 + 3) = - 4$

da cui segue
$ z^2=-4 => z_(1,2)= \pm 2e^(i*pi/2)$
$ |z|^2 + 3 = - 4$ che io ho considerato impossibile perchè $|z|^2 + 3$ è sempre maggiore di 0.

Ma ciò risulta sbagliato...perchè?

[gugo82]

L'equazione è:
\[
z^3\ \bar{z} +3z^2+4=0\; .
\]
Ricordato che \(z\ \bar{z}=|z|^2\), la tua equazione si riscrive:
\[
z^2(|z|^2+3)+4=0\; .
\]
Ora, dato che \(|z|^2+3\) è un reale positivo, il numero \(z^2(|z|^2+3)+4\) è nullo se e solo se \(z^2<0\); ma ciò accade solo se \(z=b\imath\) con \(b\in \mathbb{R}\), quindi le soluzioni della tua equazione sono necessariamente immaginari puri.
Allora non si lede la generalità sostituendo \(z=b\imath\) nell'equazione, la quale diventa:
\[
4-b^2(b^2+3)=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad b^4+3b^2-4=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad (b^2-1)(b^2+4)=0
\]
e da cui si ricavano immediatamente le soluzioni.

[Dino 921]

grazie gugo82. comunque perchè se $z^2<0$ allora z è un immaginario puro? Scusami, ma vista la solita chiarezza con cui mi rispondi, ne approfitto

[gugo82]

Intendi:
\[
z^2\ (|z|^2+3)=-4 \quad \Rightarrow \quad |z|^2\ (|z|^2+3)=4\; ?
\]
Beh, te l'ha detto: ha semplicement riscritto l'equazione come avevo fatto io e poi ha preso i moduli membro a membro; infatti, tenendo presente che \(|z^2|=|z|^2\) e che \(\Big| |z|^2+3\Big|=|z|^2+3\) (perchè \(|z|^2+3\) è un numero reale positivo), si trova:
\[
\Big| z^2\ (|z|^2+3) \Big| =|z^2|\ \Big| |z|^2+3\Big| =|z|^2\ (|z|^2+3)
\]
e, d'altra parte, \(|-4|=4\).

[Dino 921]

ti ringrazio nuovamente ad ogni modo se ben ricordo dire che un numero è immaginario puro significa che ha parte reale nulla. Come possiamo dire che se $z^2=-4$ allora $z$ è un immaginario puro è quindi della forma $z=bi$? non potrebbero esserci numeri complessi della forma $w=a+ib$ tali che $w^2=-c$ con $c in RR$? gugo ti prego chiariscimi qusto cavillo, chè non ci ho dormito stanotte