Spiegazione di un limite già svolto

[Dino 921]

salve,
stavo provando a risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) ((1+x+x^2)^(1/x)- e)/x $
e, non riuscendo, ho deciso di guardare la correzione, dove mi suggerisce di ricorrere al solito trucchetto di elevare $e^(ln(1+x+x^2)^(1/x))$. Così infatti si può ricorrere allo sviluppo di Taylor di $ln(1+t)$.
Fin qui tutto ok.
Quando però si sostuisce la funzione lineare corrispondente, non capisco che ha fatto.
vi posto l esercizio per vostra comodità (pag 87)

http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... lisi_i.pdf

la mia domanda è: siccome $t=x+x^2$, lo sviluppo non dovrebbe essere:
$ln(1+x+x^2)=x+x^2- ((x+x^2))^2/2 + o(x^4)$ ?
mentre lì troviamo: $ln(1+x+x^2)=x+x^2- (x^2)/2 + o(x^4)$
come mai?

[_prime_number]

Se sviluppi $1/2 (x+x^2)^2$ ottieni $1/2 (x^2+x^4+2x^3)=1/2 x^2 + o(x^2)$. Quindi quei termini finiscono tutti nel $o(x^2)$ perché sono infinitesimi di ordine superiore.

Paola

[Dino 921]

giusto.. quindi per la determinazione dell $o$ piccolo, che mi ha causato il problema, si ha che $o(x+x^2)=o(x^2 + 2x^3 + x^4) = o(x^2) + o(x^3) + o(x^4) = o(x^2)$? E' giusto ciò?

[_prime_number]

La tua scrittura non è corretta. Semplicemente, visto che il professore si ferma al secondo grado, tutto ciò che è di grado superiore finisce dentro $o(x^2)$ perché é trascurabile rispetto a $x^2$.

Paola

[Dino 921]

ti ringrazio per la pazienza.. quindi $o((x+x^2)^2)$ ovvero $o(t^2)$ a quanto è uguale?

[_prime_number]

Non capisco, perché scrivi $o((x+x^2)^2)$? Quel termine non è dentro a $o(\cdot )$ nel tuo sviluppo.

Paola

[Dino 921]

stiamo parlando dello sviluppo di
$ln(1+t)$
l o piccolo, siccome ci siamo fermati al secondo ordine sarà $o(t^2)$.
ma $t=x+x^2$, dunque dovrebbe essere $o(x+x^2)$.. questo è il mio ragionamento.. tu che dici?

[_prime_number]

Ahh finalmente capisco perché scrivevi così. Allora sì, prendi il termine con il grado minore, in questo caso $o((x+x^2)^2)=o(x^2)$.

Paola

[Dino 921]

mi correggo, dovrebbe essere $o((x+x^2)^2)$
ti ringrazio Paola