Spiegazione di un integrale [risolto]

[katiat89]

ciao!
volevo sapere coma mai la soluzione di questo integrale $int1/(3+sqrt[x])$
è $ 2*(sqrt[x]-3log(3+sqrt[x])$
cioè, in generale, so che $int1/x$ è $logx$ ma come devo ragionare se al denominatore ho, ad es., $x+1$???

grazie mille!!! ciao

[K.Lomax]

In generale vale in seguente integrale "notevole":

$\int(f'(x))/f(x)dx=logf(x)$

Quindi se hai una frazione con a denominatore una funzione e a numeratore la sua derivata ottieni immediatamente il logaritmo.
Sulla base di ciò credi che sia possibile farlo per $\int1/(3+sqrt{x})dx$? e per $\int1/(x+1)dx$?

[katiat89]

è vero!!!! grazie, me ne ero dimenticata....
scusami!!!! solo che ho provato ad applicarla e non mi viene ancora...
allora, io ho fatto:
- dato che la derivata di $(3+sqrt[x])$ è $1/(2sqrt[x])$
- per farla comparire al numeratore, la metto al numeratore e moltiplico l'integrale per $2sqrt[x]
- ma mi risulta così: $2int((1/(2*sqrt[x]))/(3-sqrt[x]))sqrt[x]$, mi sembra che si sia un po' complicata...adesso la devo risolvere per parti???
grazie!

[K.Lomax]

Ecco, un passo alla volta.....
Mi sa che per quell'integrale la migliore cosa è effettuare una sostituzione. Imponendo $\sqrt{x}=t$$\Rightarrow$$x=t^2$$\Rightarrow$$dx=2tdt$, il tuo integrale diventa:
$\int1/(3+\sqrt{x})dx=\int2t/(3+t)dt$

Da qui prosegui tu.

[katiat89]

Grande!!!! avevo provato anch'io con la sostituzione ma l'avevo sbagliata...si può sbagliare una sostituzione del genere???
grazie mille dell'aiuto!!!! ciao!!!!