Spiegazione della definizione di uniforme continuità
Buongiorno ragazzi, non riesco a capire la definizione di uniforme continuità, il mio libro (marcellini sbordone) mi porta questa definizione:
sia f(x) una funzione continua nell'intervallo I di R allora per ogni x0 \(\displaystyle \in I \) e \(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \) esiste \(\displaystyle \delta(x0,\varepsilon) \)tale che se \(\displaystyle x \in I\) e \(\displaystyle |x-x0|<\delta\) risulta
\(\displaystyle |f(x)-f(x0)| <\)\(\displaystyle \varepsilon \) ma sinceramente mi è poco chiara questa delta come viene "costruita" il libro dice semplicemente delta è in funzione delle variabili x0 \(\displaystyle \varepsilon\) ma sinceramente non mi è per nulla chiaro, potete aiutarmi ? grazie
sia f(x) una funzione continua nell'intervallo I di R allora per ogni x0 \(\displaystyle \in I \) e \(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \) esiste \(\displaystyle \delta(x0,\varepsilon) \)tale che se \(\displaystyle x \in I\) e \(\displaystyle |x-x0|<\delta\) risulta
\(\displaystyle |f(x)-f(x0)| <\)\(\displaystyle \varepsilon \) ma sinceramente mi è poco chiara questa delta come viene "costruita" il libro dice semplicemente delta è in funzione delle variabili x0 \(\displaystyle \varepsilon\) ma sinceramente non mi è per nulla chiaro, potete aiutarmi ? grazie
Risposte
Detto semplicemente, il $\delta$ deve dipendere solo da $\epsilon$ e non da $x_0$:
$AA \epsilon in RR^+ EE \delta_\epsilon in RR^+: AA x_0 in I ^^ |x-x_0|<\delta_\epsilon rarr |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
Per esempio, la funzione $f(x)=1/x$, pur essendo continua nel suo dominio, non è uniformemente continua. I problemi sorgono quando si cerca di soddisfare la definizione di cui sopra per valori di $x_0$ arbitrariamente vicini a $0$. Infatti, visto che $\delta(x_0,\epsilon)->0$, è impossibile fissare un $\delta_\epsilon>0$ che valga per ogni $x_0$.
$AA \epsilon in RR^+ EE \delta_\epsilon in RR^+: AA x_0 in I ^^ |x-x_0|<\delta_\epsilon rarr |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
Per esempio, la funzione $f(x)=1/x$, pur essendo continua nel suo dominio, non è uniformemente continua. I problemi sorgono quando si cerca di soddisfare la definizione di cui sopra per valori di $x_0$ arbitrariamente vicini a $0$. Infatti, visto che $\delta(x_0,\epsilon)->0$, è impossibile fissare un $\delta_\epsilon>0$ che valga per ogni $x_0$.
Prendi ad esempio, la funzione \(f:]0,+\infty [ \ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}\).
Si vede a "occhio" che tale funzione è continua in $]0,+oo[$, ma per esserne sicuro devi usare la definizione, cioé:
\[
\forall x_0 \in ]0,+\infty[,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x\in ]0,+\infty[,\ |x-x_0|<\delta\quad \Rightarrow \quad |f(x) - f(x_0)|<\varepsilon\; ;
\]
ciò vuol dire che, fissato a caso $x_0\in ]0,+\infty[$ e scelto arbitrariamente \(\varepsilon >0\), devi riuscire a determinare \(\delta >0\) in modo che:
\[
|x-x_0|< \delta\quad \Rightarrow \quad \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \varepsilon\; .
\]
Per fare ciò, risolvi la disequazione \(\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \varepsilon\) rispetto ad $x$, ottenendo:
\[
\frac{1}{\frac{1}{x_0} + \varepsilon}
sotto la condizione (non restrittiva, in realtà) che impone \(\varepsilon < \frac{1}{x_0}\), da cui ottieni:
\[
\frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0} - x_0
dato che il primo membro è negativo, passando ai valori assoluti trovi:
\[
|x-x_0|< \min \left\{ x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0},\ \frac{x_0}{1 - \varepsilon x_0} - x_0\right\} = \underbrace{x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0}}_{=:\delta}
\]
Ora, rileggendo a ritroso i passaggi (come si fa ogni volta con le verifiche della definizione di limite), ottieni che se $|x-x_0|<\delta$ allora hai pure \(|f(x) - f(x_0)|<\varepsilon\), sicché la tua funzione $f$ è continua in $x_0$.
L'arbitrarietà nella scelta di $x_0$ in $]0,+oo[$ ti consente di affermare che $f$ è continua in tutto $]0,+oo[$.
Detto ciò, vai a guardare con attenzione com'è fatta la quantità che hai chiamato $\delta$: dato che:
\[
\delta = x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0}
\]
tale quantità dipende contemporaneamente da $\varepsilon$ e da $x_0$ (cioè hai \(\delta = \delta (x_0,\varepsilon)\)), i quali sono entrambi elementi quantificati col quantificatore universale $AA$ prima del quantificatore $EE$ nella definizione di continuità.
Questo significa che, in generale, il numero $\delta$ che ti serve per soddisfare la definizione di continuità in ogni punto di un insieme dipende in maniera essenziale proprio dalla scelta del punto $x_0$ nel quale stai controllando la continuità.[nota]E questo ci ricorda ancora una volta che la continuità è una nozione fondamentalmente puntuale (cioè si verifica punto-a-punto) e non globale.[/nota]
Ci sono però delle funzioni per le quali il numero $\delta$ che serve per soddisfare la definizione di continuità in ogni punto di un insieme non dipende affatto dalla scelta del punto $x_0$ (o, se vi dipende, vi dipende in maniera fittizia...[nota]Ciò accade, ad esempio, quando si ha \(\displaystyle \inf_{x_0} \delta (x_0,\varepsilon) >0\).[/nota]).
Ad esempio, la funzione affine \(\phi:]0,+\infty [\ni x\mapsto ax+b \in \mathbb{R}\) (con $a\ne 0$ per evitare banalità) ha la proprietà appena detta, poiché risultando:
\[
|f(x) - f(x_0)| = |a|\cdot |x-x_0|\; ,
\]
una volta fissato \(\varepsilon >0\) basta prendere \(\delta = \frac{\varepsilon}{|a|} >0\) per soddisfare la definizione di continuità e tale valore di $\delta$ non dipende affatto dalla scelta di $x_0$!
Funzioni che hanno questa proprietà (indipendenza del $\delta$ dalla scelta di $x_0$) si chiamano uniformemente continue.
Va da sé che, non dipendendo in alcun modo la quantità $\delta$ dalla scelta di $x_0$, il "pezzo" $AA x_0$ della definizione di continuità può essere "trasportato" dopo il "pezzo" $EE \delta >0:$ della definizione senza renderla falsa o insensata... Con questo passaggino formale si ottiene la definizione di uniforme continuità, la quale nei casi esaminati fin qui reciterebbe:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x,x_0 \in ]0,+\infty[,\ |x-x_0|<\delta\quad \Rightarrow \quad |f(x) - f(x_0)|<\varepsilon
\]
(per ottenere la definizione nel caso generale, basta sostituire il dominio "generico" $X$ all'intervallo $]0+oo[$).
Geometricamente, la differenza tra continuità ed uniforme continuità si riassume così.
Una funzione è continua in un insieme se per ogni punto del grafico $(x_0,f(x_0))$ e per ogni "semialtezza" $\varepsilon >0$, si può trovare una "semibase" $\delta >0$ in modo che il tratto di grafico corrispondente all'intervallo $]x_0-\delta ,x_0+\delta[$ sia incasellabile nel rettangolo di centro $(x_0,f(x_0))$ e semidimensioni $\delta$ ed $\varepsilon$. Dato che $\delta$ dipende in generale da $x_0$, in corrispondenza dello stesso $\varepsilon$ ma di punti $x_0$ diversi si trovano rettangoli con "basi" diverse (le quali si assottigliano sempre più, tipicamente).
Per le funzioni uniformemente continue ciò non accade: in altri termini, fissata la "semialtezza" $\varepsilon >0$ esiste una "semibase" $\delta >0$ tale che il rettangolo di semidimensioni $\delta$ ed $\varepsilon$ riesce a racchiudere il tratto di grafico
corrispondente all'intervallo $]x_0-\delta ,x_0+\delta[$ per ogni possibile scelta del punto $(x_0,f(x_0))$.
Sembrerebbe che la differenza tra continuità e continuità uniforme sia poca cosa, ma in realtà è una delle differenze più importanti in Analisi; d'altra parte, il concetto di uniforme continuità è così complesso che ha tardato molto ad emergere ed a farsi riconoscere come proprietà distinta dalla semplice continuità.
L'importanza risiede, ad esempio, nel fatto che la continuità uniforme consente di provare che le funzioni continue nei compatti sono integrabili secondo Riemann.
Si vede a "occhio" che tale funzione è continua in $]0,+oo[$, ma per esserne sicuro devi usare la definizione, cioé:
\[
\forall x_0 \in ]0,+\infty[,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x\in ]0,+\infty[,\ |x-x_0|<\delta\quad \Rightarrow \quad |f(x) - f(x_0)|<\varepsilon\; ;
\]
ciò vuol dire che, fissato a caso $x_0\in ]0,+\infty[$ e scelto arbitrariamente \(\varepsilon >0\), devi riuscire a determinare \(\delta >0\) in modo che:
\[
|x-x_0|< \delta\quad \Rightarrow \quad \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \varepsilon\; .
\]
Per fare ciò, risolvi la disequazione \(\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right| < \varepsilon\) rispetto ad $x$, ottenendo:
\[
\frac{1}{\frac{1}{x_0} + \varepsilon}
sotto la condizione (non restrittiva, in realtà) che impone \(\varepsilon < \frac{1}{x_0}\), da cui ottieni:
\[
\frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0} - x_0
dato che il primo membro è negativo, passando ai valori assoluti trovi:
\[
|x-x_0|< \min \left\{ x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0},\ \frac{x_0}{1 - \varepsilon x_0} - x_0\right\} = \underbrace{x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0}}_{=:\delta}
\]
Ora, rileggendo a ritroso i passaggi (come si fa ogni volta con le verifiche della definizione di limite), ottieni che se $|x-x_0|<\delta$ allora hai pure \(|f(x) - f(x_0)|<\varepsilon\), sicché la tua funzione $f$ è continua in $x_0$.
L'arbitrarietà nella scelta di $x_0$ in $]0,+oo[$ ti consente di affermare che $f$ è continua in tutto $]0,+oo[$.
Detto ciò, vai a guardare con attenzione com'è fatta la quantità che hai chiamato $\delta$: dato che:
\[
\delta = x_0 - \frac{x_0}{1 + \varepsilon x_0}
\]
tale quantità dipende contemporaneamente da $\varepsilon$ e da $x_0$ (cioè hai \(\delta = \delta (x_0,\varepsilon)\)), i quali sono entrambi elementi quantificati col quantificatore universale $AA$ prima del quantificatore $EE$ nella definizione di continuità.
Questo significa che, in generale, il numero $\delta$ che ti serve per soddisfare la definizione di continuità in ogni punto di un insieme dipende in maniera essenziale proprio dalla scelta del punto $x_0$ nel quale stai controllando la continuità.[nota]E questo ci ricorda ancora una volta che la continuità è una nozione fondamentalmente puntuale (cioè si verifica punto-a-punto) e non globale.[/nota]
Ci sono però delle funzioni per le quali il numero $\delta$ che serve per soddisfare la definizione di continuità in ogni punto di un insieme non dipende affatto dalla scelta del punto $x_0$ (o, se vi dipende, vi dipende in maniera fittizia...[nota]Ciò accade, ad esempio, quando si ha \(\displaystyle \inf_{x_0} \delta (x_0,\varepsilon) >0\).[/nota]).
Ad esempio, la funzione affine \(\phi:]0,+\infty [\ni x\mapsto ax+b \in \mathbb{R}\) (con $a\ne 0$ per evitare banalità) ha la proprietà appena detta, poiché risultando:
\[
|f(x) - f(x_0)| = |a|\cdot |x-x_0|\; ,
\]
una volta fissato \(\varepsilon >0\) basta prendere \(\delta = \frac{\varepsilon}{|a|} >0\) per soddisfare la definizione di continuità e tale valore di $\delta$ non dipende affatto dalla scelta di $x_0$!
Funzioni che hanno questa proprietà (indipendenza del $\delta$ dalla scelta di $x_0$) si chiamano uniformemente continue.
Va da sé che, non dipendendo in alcun modo la quantità $\delta$ dalla scelta di $x_0$, il "pezzo" $AA x_0$ della definizione di continuità può essere "trasportato" dopo il "pezzo" $EE \delta >0:$ della definizione senza renderla falsa o insensata... Con questo passaggino formale si ottiene la definizione di uniforme continuità, la quale nei casi esaminati fin qui reciterebbe:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall x,x_0 \in ]0,+\infty[,\ |x-x_0|<\delta\quad \Rightarrow \quad |f(x) - f(x_0)|<\varepsilon
\]
(per ottenere la definizione nel caso generale, basta sostituire il dominio "generico" $X$ all'intervallo $]0+oo[$).
Geometricamente, la differenza tra continuità ed uniforme continuità si riassume così.
Una funzione è continua in un insieme se per ogni punto del grafico $(x_0,f(x_0))$ e per ogni "semialtezza" $\varepsilon >0$, si può trovare una "semibase" $\delta >0$ in modo che il tratto di grafico corrispondente all'intervallo $]x_0-\delta ,x_0+\delta[$ sia incasellabile nel rettangolo di centro $(x_0,f(x_0))$ e semidimensioni $\delta$ ed $\varepsilon$. Dato che $\delta$ dipende in generale da $x_0$, in corrispondenza dello stesso $\varepsilon$ ma di punti $x_0$ diversi si trovano rettangoli con "basi" diverse (le quali si assottigliano sempre più, tipicamente).
Per le funzioni uniformemente continue ciò non accade: in altri termini, fissata la "semialtezza" $\varepsilon >0$ esiste una "semibase" $\delta >0$ tale che il rettangolo di semidimensioni $\delta$ ed $\varepsilon$ riesce a racchiudere il tratto di grafico
corrispondente all'intervallo $]x_0-\delta ,x_0+\delta[$ per ogni possibile scelta del punto $(x_0,f(x_0))$.
Sembrerebbe che la differenza tra continuità e continuità uniforme sia poca cosa, ma in realtà è una delle differenze più importanti in Analisi; d'altra parte, il concetto di uniforme continuità è così complesso che ha tardato molto ad emergere ed a farsi riconoscere come proprietà distinta dalla semplice continuità.
L'importanza risiede, ad esempio, nel fatto che la continuità uniforme consente di provare che le funzioni continue nei compatti sono integrabili secondo Riemann.
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