Spiegazione: Criterio del confronto per serie numeriche

[marta008]

salve qualcuno è cosi gentile a spiegarmi il criterio del confronto non asintotico per le serie numeriche??
con un esempio

[Noisemaker]

Criterio del confronto asintotico

Siano $\sum a_n$ e $\sum b_n$ due serie a termini positivi e tali che: $$a_n\sim b_n ;$$
allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Dimostrazione

Per ipotesi abbiamo che $$a_n\sim b_n;$$ allora questo equivale a dire che $$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n=1;$$
allora per difinizione di limite, per ogni fissato $\varepsilon>0, \exists n_0 \in\mathbb{N} \text{tale che} \forall n>n_0,$
\begin{align*}
\left|\frac{a_n}{b_n}-1\right|<\varepsilon\quad\Rightarrow\quad1-\varepsilon<\displaystyle\frac{a_n}{b_n} <\varepsilon+1\quad\Rightarrow\quad{b_n}\left(1-\varepsilon\right)< {a_n} <{b_n}\left(\varepsilon+1\right);
\end{align*}
dunque se la successione $\{b_n\}$ è divergente, la parte sinistra della disuguaglianza, $$ b_n \left(1-\varepsilon\right)< {a_n},$$ per il criterio del confronto, ci fornisce anche la divergenza di $a_n$; analogamente, se la successione $ b_n $ è convergente la parte destra della disuguaglianza, $${a_n} <{b_n}\left(\varepsilon+1\right),$$ per il criterio del confronto, ci fornisce anche la convergenza di $a_n.$

Ad esempio, considerando la serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n+4}{n^2-3n+1};
\end{align*}
verificato che si tratta di una serie a termini positivi, abbiamo che:
\begin{align*}
\frac{n+4}{n^2-3n+1}\sim \frac{n }{n^2 }\sim \frac{1 }{n};
\end{align*}
essendo asintoticamente equivalente alla serie armonica, la serie data diverge.
Ancora, consideriamo la serie
$$\sum_{n=1}^\infty\,\, \left(e^{\frac{1}{n^2}}-2\cos\frac{1}{n}-1\right);$$
verifichiamo anzitutto se si tratta di una serie a termini positivi :
\begin{align*}
\left(e^{\frac{1}{n^2}}-2\cos\frac{1}{n}+1\right)>0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,e^{\frac{1}{n^2}}>2\cos\frac{1}{n}-1
\end{align*}
per risolvere questa disequazone (trascendente), poniamo $ f(x):=e^{\frac{1}{x^2}}$ e $ g(x):=2\cos\frac{1}{x}+1;$ allora avremo:
\begin{align*}
&\lim_{x\to+\infty}f(x)=1;\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty;\,\,\,f'(x)<0\,\,\, \forall \,\,x \in \mathbb{R^+};\\
&\lim_{x\to+\infty}g(x)=1;\,\,\,g'(x)>0\,\,\, \forall \,\,x>\frac{2}{\pi};
\end{align*}
quindi $f$ decresce tendendo a $1$ e $g$ cresce tendedo a $1$ e ciò verifica la disuguaglianza, perchè $f$ sta sempre ''sopra'' $g:$ si tratta quindi di una serie a termini positivi. Considerando allora il termine generale ed applicando il confronto asintotico, si ottiene:
\begin{align*}
\left(e^{\frac{1}{n^2}}-1+1-2\cos\frac{1}{n}+1\right)\sim\left(\frac{1}{n^2}+2\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\right)\sim\left(\frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^2} \right)= \frac{2}{n^2}\,\,\,\to\text{converge.}
\end{align*}
Dunque per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, si conclude che la serie data converge.

[Seneca1]

"marta00":[...] criterio del confronto non asintotico [...]