Spiegazione convergenza puntuale

[anto84gr-votailprof]

Ciao ragazzi,
vorrei capire bene cosa significa la definizione di convergenza puntuale per le successioni di funzioni:
$ AA epsilon > 0 EE n_0(epsilon,x) $ tale che $ AA n >=n_0 |f_n(x)-f(x)|
In particolare vorrei capire bene cosa significa che l'indice dipende sia da $epsilon $ che da x

[Relegal]

Il punto è che nella definizione di convergenza puntuale in un intervallo $I$, fissato un punto $x_0 in I$ e un $\epsilon>0$ trovi un $n_0=n_0(x_0,\epsilon)$ tale che etc. etc. .
La sostanza è che quell'indice $n_0$ varierà se studierai la convergenza in un punto $x_1 != x_0$; non hai cioè una stima uniforme su tutto il dominio, ma una stima che dipende dal particolare punto fissato.
Non è facilissimo come concetto da scrivere, spero però di essere riuscito ad essere chiaro

[dissonance]

Prendi questa successione di funzioni:

$f_n(x)=1-x^n,\ x\in[0, 1]$

che puoi visualizzare mediante questo disegno (in rosso i grafici delle $f_n$):



Questa successione di funzioni converge puntualmente alla funzione $f(x)={(1, 0<=x<1), (0, x=1):}$
(in nero spesso nel disegno. Attenzione: per $x=1$ la funzione limite vale $0$, dal disegno purtroppo non si capisce bene).

Per ogni punto $0<=x<1$, comunque fissi un $epsilon$ la distanza tra i numeri $f_n(x)$ e $f(x)$ (cioè $1$) è minore di $epsilon$ a patto di scegliere $n$ sufficientemente grande. Ma mano a mano che ti avvicini a $1$, per avere la stessa approssimazione è necessario prendere $n$ sempre più grandi. Questo è il significato di convergenza puntuale, non uniforme.

P.S.: Questo esempio proviene da questa vecchia discussione
https://www.matematicamente.it/forum/suc ... 45651.html

[Mrhaha]

@dissonance:
Perfetto e chiarissimo! Solo una cosa, quando dici "Questa siccessione di funzioni converge puntualmente alla funzione $f(x)$..." tra uno e zero c'è uno spazio giusto?