Spezzare Integrale

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , sto svolgendo un'integrale di analisi I, e dopo aver applicato la formula di integrazione per parti e successivamente quella di Sostituzione, arrivo a questo punto: $ int t/(3+t)dt $
A questo punto punto l'integrale viene spezzato nel seguente modo: $ int dt - 3int 1/(3+t)dt $
E poi ovviamente si risostituisce.
Potreste spiegarmi come viene spezzato questo integrale?

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

"Biagio2580":Potreste spiegarmi come viene spezzato questo integrale?

Questo è semplice:

$\int t/(3+t) \text{d}t = \int (3 + t - 3)/(3+t) \text{d}t = \int \text{d}t - 3 \int 1/(3+t) \text{d}t $

[Biagio2580]

Nella prima parte si porta fuori solo la t , e ho capito , ma poi perchè porta fuori 3? E il -3 che fine fa?

[gio73]

$(3+t-3)/(3+t)=(3+t)/(3+t)-3/(3+t)=1-3/(3+t)$

[Biagio2580]

Grazie mille gio73!!!

[gio73]

Da qualche parte ho letto

"spesso l unica cosa da fare è scrivere 0 o 1 in maniera creativa“

Cosa studi Biagio?

[Biagio2580]

Ingegneria Informatica, sono al primo anno.

[gugo82]

"gio73":$(3+t-3)/(3+t)=(3+t)/(3+t)-3/(3+t)=1-3/(3+t)$

Matematica del biennio delle superiori... Con tanti ringraziamenti al Covid.

[pilloeffe]

@Biagio2580
La regola per la prova della divisione intera che dovresti sapere (per lo meno, mio figlio la sta facendo in quarta elementare) è la seguente:

$N = Q \cdot D + R $

Esempio: con $N = 12$, $D = 5$ si ha $12 : 5 = 2 $ con resto $R = 2 $, infatti $Q \cdot D + R = 2 \cdot 5 + 2 = 12 = N$
Dividendo per $D$ si ottiene la regola per le frazioni:

$N/D = Q + R/D $

ove $N > D $ e $R < D $. Questa ci dice che una frazione impropria può sempre essere espressa mediante la somma di un numero intero e di una frazione propria. Esempio: $12/5 = 2 + 2/5 $
Per i polinomi e gli integrali si usa ancora la stessa regola:

$(N(t))/(D(t)) = Q(t) + (R(t))/(D(t)) $

ove $\text{deg}[N(t)] \ge \text{deg}[D(t)] $ e $\text{deg}[R(t)] < \text{deg}[D(t)] $ (deg dalle iniziali della parola inglese degree = grado), sicché in generale si ha:

$\int (N(t))/(D(t)) \text{d}t = \int Q(t) \text{d}t + \int (R(t))/(D(t)) \text{d}t $

Nel caso in esame $\text{deg}[N(t)] = \text{deg}[D(t)] = 1$ sicché $\text{deg}[R(t)] = 0 $

[Biagio2580]

Il passaggio di dividere poi lo ho capito...Non avevo capito all'inizio perchè dovevo aggiungere +3 e -3, poi quando gio mi ha detto che serviva per scomporre l'integrale ho capito . Mo non è che non sono capace a fare le divisioni

[pilloeffe]

"Biagio2580":Mo non è che non sono capace a fare le divisioni

Temo che tu abbia equivocato: non è che ho pensato che non sapessi fare le divisioni (anzi al contrario l'ho dato per scontato, vista la premessa...). Volevo fornirti un quadro di riferimento che ritenevo potesse tornarti utile per la risoluzione di tutti gli integrali di funzioni razionali, perché immagino che ti capiterà di doverne risolvere altri...

Per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo alla pagina, non il pulsante "CITA: infatti, raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che te l'ha data ed anzi così facendo si appesantisce inutilmente il thread... Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci sono cascati in molti (sottoscritto incluso )

[gio73]

@biagio

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[Biagio2580]

Chiedo scusa allora @pilloeffe , adesso provvedo subito!