Spettro operatori di traslazione
Ciao a tutti!
è tutto il giorno che cerco sia sul libro che su internet lo spettro degli operatori E+ ed E- definiti come:
E+(x1, x2,x3,....)= (x2,x3,x4,...)
E-(x1,x2,x3,.....)=(0,x1,x2,x3,....)
definiti entrambi da l2 in l2.
Devo riuscire a calcolarne la norma e calcolarne lo spettro. Io sinceramente non so come cominciare visto che son operatori abbastanza bizzarri. Qualcuno può darmi la soluzione o magari linkarmi qualche dispensa dove spiegano bene? Grazie in anticipo!
è tutto il giorno che cerco sia sul libro che su internet lo spettro degli operatori E+ ed E- definiti come:
E+(x1, x2,x3,....)= (x2,x3,x4,...)
E-(x1,x2,x3,.....)=(0,x1,x2,x3,....)
definiti entrambi da l2 in l2.
Devo riuscire a calcolarne la norma e calcolarne lo spettro. Io sinceramente non so come cominciare visto che son operatori abbastanza bizzarri. Qualcuno può darmi la soluzione o magari linkarmi qualche dispensa dove spiegano bene? Grazie in anticipo!
Risposte
Per la norma, hai provato ad applicare direttamente la definzione? Cioè, sai che $||Tx||=(\sum_{k=0}^\infty |Tx_k|^2)^{1/2}$ se $x=(x_0,x_1,x_2,\ldots)$ e, ad esempio, $E_{-} x_k=x_{k+1}$...
Infatti, seguendo il consiglio di ciampax si arriva subito al risultato.
Basta applicare le definizioni ed avere un po' l'occhio allenato.
Basta applicare le definizioni ed avere un po' l'occhio allenato.
dunque applicando la formula della norma mi viene che la norma di T = al sup della norma di Tx diviso la norma di x. Ora nel caso di E- diventa (x2,x3,x4,x5....)^2 / (x1,x2,x3,x4) ovviamente in norma. Questo viene sempre inferiore a 1 eccetto il caso in cui x1=0 nel qual caso viene uguale ad 1. Quindi la norma di E- è uguale a 1. Con un procedimento simile si arriva alla stessa conclusione per E+ che anch'esso ha norma uguale ad 1.
Il ragionamento è giusto od ho fatto qualche errore? Per quanto riguarda lo sprettro invece? Ne ho davvero bisogno per l'esame che ho il 2.
Il ragionamento è giusto od ho fatto qualche errore? Per quanto riguarda lo sprettro invece? Ne ho davvero bisogno per l'esame che ho il 2.
Per trovare gli autovalori (se ce ne sono), ti basta risolvere l'equazione degli autovalori, i.e. \(Tx=\lambda\ x\).
Se esistono dei \(\lambda\) per i quali tale equazione ha soluzioni \(x\neq 0\), quei \(\lambda\) sono gli autovalori; altrimenti, l'operatore \(T\) non ha autovalori.
Se ti interessano altri valori spettrali (come quelli nello spettro contunuo o nello spettro residuo), la cosa si complica un po'.
Se esistono dei \(\lambda\) per i quali tale equazione ha soluzioni \(x\neq 0\), quei \(\lambda\) sono gli autovalori; altrimenti, l'operatore \(T\) non ha autovalori.
Se ti interessano altri valori spettrali (come quelli nello spettro contunuo o nello spettro residuo), la cosa si complica un po'.
e sì m'interessa anche lo spettro continuo, quello residuo no. Ho provato ad applicare la formula ma sinceramente non so dove mettere le mani...
ragazzi scusatemi, il 2 ho l'esame e mi manca solo di sapere questo.
[xdom="gugo82"]E secondo te gli altri utenti, quelli che rispettano la regola 3.4 del regolamento, non hanno bisogno d'aiuto come te???
Blocco fino a domani.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sbloccato.[/xdom]
[xdom="gugo82"]E secondo te gli altri utenti, quelli che rispettano la regola 3.4 del regolamento, non hanno bisogno d'aiuto come te???
Blocco fino a domani.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sbloccato.[/xdom]
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